Câu 4: Trang 98 toán VNEN 8 tập 1
Dựa vào tính chất của hình chữ nhật, chứng tỏ rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy và ngược lại.
Bài Làm:
Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Xét $\Delta$MAB và $\Delta$MNC, có:
- BM = CM
- MA = MN
- $\widehat{AMB}$ = $\widehat{NMC}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow$ $\Delta$MAB = $\Delta$MNC (c.g.c)
$\Rightarrow$ NC = AB và $\widehat{MBA}$ = $\widehat{MCN}$
a) Do $\widehat{MBA}$ = $\widehat{MCN}$ nên AB // NC $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ACN}$ = 180$^{0}$.
Nếu $\widehat{BAC}$ = 90$^{0}$ thì $\widehat{ACN}$ = 90$^{0}$.
Xét $\Delta$ABC và $\Delta$CNA, có:
- AC chung
- AB = NC (cmt)
- $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACN}$ (cmt)
$\Rightarrow$ $\Delta$ABC = $\Delta$CNA (c.g.c)
$\Rightarrow$ AN = BC $\Rightarrow$ AM = 12BC (đpcm).
b) Có: AM = 12AN. Nếu AM = 12BC thì AN = BC.
Xét $\Delta$ABC và $\Delta$CNA, có:
- AC chung
- AB = NC (cmt)
- AN = BC (cmt)
$\Rightarrow$ $\Delta$ABC = $\Delta$CNA (c.c.c) $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACN}$
Mà $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ACN}$ = 180$^{0}$ nên $\widehat{BAC}$ = 90$^{0}$ (đpcm).