Câu 30: Trang 79 – SGK Toán 9 tập 2
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: Nếu $\widehat{BAx}$ (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn(h.29).
Gợi ý: có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
H. 29
Bài Làm:
Chứng minh trực tiếp (Hình a)
Theo giá thiết: $\widehat{BAx}$ = $\frac{1}{2}$ số đo cung AB
$\widehat{O_{1}}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{AOB}$ = $\frac{1}{2}$ số đo cung AB (do $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB)
=> $\widehat{BAx}$ = $\widehat{O_{1}}$
=> $\widehat{BAx}$ + $\widehat{BAO}$ = $\widehat{O_{1}}$ + $\widehat{BAO}$ = $90^{\circ}$
(do tam giác AGO vuông tại G nên $\widehat{O_{1}}$ + $\widehat{BAO}$ = $90^{\circ}$)
=> OA vuông góc Ax.
Vậy Ax là tiếp tuyến của (O) tại A.
Chứng minh bằng phản chứng (Hình b)
Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của (O) tại A. Tức là Ax là một cát tuyến của (O).
Gọi C là giao điểm của Ax với (O) => $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung BC của (O)
=> $\widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$ số đo cung BC < số đo cung AB.
Điều này trái với giả thiết: $\widehat{BAC}$ = $\frac{1}{2}$ số đo cung AB
Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A.
