Câu 3: Trang 136 toán VNEN 8 tập 1
Bạn Chung đã vẽ hình thoi ABCD, có hai đường chéo AC = m, BD = n. Qua các điểm A và C vẽ các đường thẳng a và c song song với BD. Qua các điểm B và D vẽ các đường thẳng b và d song song với AC. Các đường thẳng a, b, c, d cắt nhau tương ứng tại các điểm E, F, G, H (hình 135).
Bạn Chung cho rằng: EFGH là hình chữ nhật và
- hai tam giác vuông ABO và BAE bằng nhau;
- hai tam giác vuông CBO và BCF bằng nhau;
- hai tam giác vuông ADO và DAH bằng nhau;
- hai tam giác vuông CDO và DCG bằng nhau.
Từ đó suy ra diện tích hình chữ nhật EFGH gấp đôi diện tích hình thoi ABCD.
Do diện tích hình chữ nhật EFGH là S$_{EFGH}$ = EH.HG = mn, nên có S$_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$mn.
Theo em, cách lập luận trên của bạn Chung là đúng hay sai? Vì sao?
Có thể xem cách mà bạn Chung làm như một cách tìm ra công thức tính diện tích hình thoi theo độ dài hai đường chéo hay không?
Bài Làm:
Vì EF//HG//AC và EH//BD//FG mà BD $\perp$ AC nên EF $\perp$ FG, FG $\perp$ GH, GH $\perp$ EH, EH $\perp$ EF, hay EFGH là hình chữ nhật.
Xét $\Delta$ABO vuông tại O và $\Delta$BAE vuông tại E, có:
- AB chung
- $\widehat{BAO}$ = $\widehat{ABE}$ (so le trong)
$\Rightarrow$ $\Delta$ABO = $\Delta$BAE (cạnh huyền – góc nhọn).
Chứng minh tương tự, ta có: $\Delta$CBO = $\Delta$BCF; $\Delta$ADO = $\Delta$DAH; $\Delta$CDO = $\Delta$DCG.
Từ đó, suy ra: S$_{EFGH}$ = 2S$_{ABCD}$.
Do diện tích hình chữ nhật EFGH là S$_{EFGH}$ = EH.HG = mn, nên có S$_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$mn.
Như vậy, cách lập luận cảu bạn Chung là đúng. Có thể xem cách mà bạn Chung làm như một cách tìm ra công thức tính diện tích hình thoi theo độ dài hai đường chéo.