Câu 3: Trang 114 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi M là đối xứng của H qua AB, gọi N là đối xứng của H qua AC. Chứng minh rằng:
a) AM = AN;
b) M là đối xứng của N qua A;
c) MHN là tam giác vuông tại H;
d) MN vuông góc CN;
e) BMNC là hình thang vuông.
Bài Làm:
a) Vì M đối xứng với H qua AB $\Rightarrow$ AH = AM
Và N đối xứng với N qua AC $\Rightarrow$ AH = AN
Do đó: AM = AN (4) (= AH).
b) Xét $\Delta$ABM và $\Delta$ABH, có:
AM = AH (H đối xứng với M qua AB)
BM = BH (H đối xứng với M qua AB)
AB chung
$\Rightarrow$ $\Delta$ABM = $\Delta$ABH (c−c−c).
$\Rightarrow$ $\widehat{MAB}$ = $\widehat{BAH}$ (1)
Tương tự, ta có: $\Delta$ACN = $\Delta$ACH $\Rightarrow$ $\widehat{NAC}$ = $\widehat{CAH}$ (2)
Mà $\widehat{BAH}$ + $\widehat{CAH}$ = 90$^{0}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $\widehat{MAB}$ + $\widehat{BAH}$ + $\widehat{NAC}$ + $\widehat{CAH}$ = 2$\widehat{BAH}$ +2$\widehat{HAC}$ = 2.90$^{0}$ = 180$^{0}$
$\Rightarrow$ M, N, A thẳng hàng. (5)
Từ (4) và (5) $\Rightarrow$ M đối xứng với N qua A.
c) Xét $\Delta$MHN, có: AH = MA = NA (cmt)
$\Rightarrow$ AH = $\frac{MA + NA}{2}$ = $\frac{MN}{2}$ $\Rightarrow$ $\Delta$MHN vuông tại H.
d) Do $\Delta$ACH = $\Delta$ACN (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{AHC}$ = $\widehat{ANC}$ = 90$^{0}$ $\Rightarrow$ MN $\perp$ CN.
e) Do $\Delta$ABM = $\Delta$ABH (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AHB}$ = 90$^{0}$.
Xét tứ giác BMNC, có: $\widehat{NMB}$ = $\widehat{MNC}$ = 90$^{0}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
$\Rightarrow$ BMNC là hình thang
Mà hai góc đó cùng bằng 90$^{0}$
$\Rightarrow$ BMNC là hình thang vuông.