Câu 2: Trang 113 toán VNEN 8 tập 1
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
a) Gọi E, F, G, H tương ứng là trung điểm các cạnh AB,BC, CD, DA. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
b) Gọi I, J, K, L tương ứng là trung điểm các cạnh EF, FG, GH, HE nói ở câu a). Chứng minh rằng IJKL là hình thoi.
c) Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm các cạnh IJ, JK, KL, LI nói ở câu b). Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là hình gì? Vì sao?
Bài Làm:
a) E là trung điểm AB (gt) và H là trung điểm AD (gt) $\Rightarrow$ EH là đường trung bình của tam giác ABD
$\Rightarrow$ EH // BD, EH = $\frac{BD}{2}$ (1)
Chứng minh tương tự, ta có: FG là đường trung bình của tam giác BDC
$\Rightarrow$ FG // BD, FG = $\frac{BD}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ HE // FG, HE = FG
$\Rightarrow$ EFGH là hình bình hành.
Lại có: H là trung điểm AD (gt); G là trung điểm DC (gt) $\Rightarrow$ HG là đường trung bình của tam giác ADC
$\Rightarrow$ HG // AC.
Mà AC vuông góc với BD (gt) $\Rightarrow$ HG vuông góc với BD.
Lại có: BD // HE (cmt) $\Rightarrow$ HG vuông góc với HE.
Hình bình hành EFGH có $\widehat{EHG}$ =90$^{0}$ (cmt)
$\Rightarrow$ EFGH là hình chữ nhật.
b) Nối E với G, F với H.
Ta có: L là trung điểm EH (gt); I là trung điểm EF (gt) $\Rightarrow$ IL là đường trung bình của tam giác EFH
$\Rightarrow$ IL // HF, IM = $\frac{HF}{2}$ (3)
Chứng minh tương tự, ta được: JK là đường trung bình của tam giác HGF
$\Rightarrow$ JK // HF , JK = $\frac{HF}{2}$ (4)
Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ IL // JK, IL = JK $\Rightarrow$ ILKJ là hình bình hành.
Lại có: EFGH là hình chữ nhật $\Rightarrow$ HG = EF.
Và: K là trung điểm HG (gt); I là trung điểm EF (gt) $\Rightarrow$ HK = EI
Xét tam giác LHK vuông tại H và tam giác LEI vuông tại E, có:
LH = LE (L là trung điểm HE )
HK = EI (cmt)
$\Rightarrow$ $\Delta$LHK = $\Delta$LEI $\Rightarrow$ KL = LI.
Xét ILKJ là hình bình hành có: KL = LI (cmt) $\Rightarrow$ ILKJ là hình thoi.
c) Q là trung điểm IL (gt) và M là trung điểm IJ (gt) $\Rightarrow$ QM là đường trung bình của tam giác ILJ
$\Rightarrow$ QM // LJ, QM = $\frac{LJ}{2}$ (5)
Chứng minh tương tự, ta có: PN là đường trung bình của tam giác LJK
$\Rightarrow$ PN // LJ, PN = $\frac{LJ}{2}$ (6)
Từ (5) và (6) $\Rightarrow$ QM = PN, QM // PN.
$\Rightarrow$ MNPQ là hình bình hành.
Lại có: Q là trung điểm LI (gt); P là trung điểm LK (gt) $\Rightarrow$ QP là đường trung bình của tam giác LIK
$\Rightarrow$ QP // IK.
Mà IK vuông góc với LJ (tính chất hình thoi) $\Rightarrow$ QP vuông góc với LJ.
Lại có: LJ // PN (cmt) $\Rightarrow$ QP vuông góc PN.
Hình bình hành MNPQ có $\widehat{QPN}$ =90$^{0}$ (cmt)
$\Rightarrow$ MNPQ là hình chữ nhật.
d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là các hình vuông.