Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: So sánh các luỹ thừa, căn số
Bài Làm:
I. Phương pháp giải:
- So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số a.
- Với a>1 thì $a^{x_1}> a^{x_2}$ $\Leftrightarrow x_1>x_2$
- Với 0<a<1 thì $a^{x_1}> a^{x_2}$ $\Leftrightarrow x_1<x_2$.
2. So sánh hai luỹ thừa có cùng số mũ.
- Với a, b # 1và $0<b<a$ tương đương $\left\{\begin{matrix}x>0 \Leftrightarrow b^x<a^x\\ x<0 \Leftrightarrow b^x>a^x\end{matrix}\right.$
3. Với các biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc.
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: So sánh
a) $199^{20}$ và $2003^{15}$
b) $3^{39}$ và $11^{21}$
Bài giải: a) Ta có
- $199^{20} < 200^{20} =(8.25)^{20}=(2^3.5^2)^{20}=2^{60}.5^{40}$
- $2003^{15}>2000^{15}=(16.125)^{15}=(2^4.5^3)^{15}=2^{60}.5^{40}$
Vậy $2003^{15}>199^{20}$.
b) Ta có
- $3^{39} < 3^{40} =(3^4)^{10}=81^{10}$
- $11^{21}>11^{20}=(11^2)^{10}=121^{10}$
Vậy $11^{21}>3^{39}$.
Bài tập 2: So sánh
a) $\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$ và $\sqrt{35}$
b) $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ và 2
Bài giải:
a) Ta có $\sqrt{10}+\sqrt{5}+1>\sqrt{9}+\sqrt{4}+1=6$
Mà $\sqrt{35}<\sqrt{36}=6$.
Vậy $\sqrt{10}+\sqrt{5}+1$ > $\sqrt{35}$.
b) Ta có $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ < $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4}}}$ = $\sqrt{1+\sqrt{2+2}} = \sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}.$
Mà $\sqrt{3}< \sqrt{4}=2$.
Vậy $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ < 2.