A. Tổng hợp kiến thức
I. Khái niệm chung
- Cho hàm số $y=x^{a}, a\in R$ gọi là hàm số lũy thừa bậc a.
Cách xác định điều kiện, tập xác định D:
- Với $a>0, a\in Z => D= R$.
- Với $a<0, a\in Z$ => $D$=$R$\{0}
- Với $a\notin Z => D=(0;+\infty )$
II. Đạo hàm hàm số lũy thừa
Tổng quát
- Hàm số $y=x^{a},( a\in R)$ luôn có đạo hàm với mọi $x>0$.
| $(x^{a})'=ax^{a-1}$ |
Chú ý: Với bài toán về hàm hợp, ta áp dụng công thức tương tự:
|
$(u^{a})'=au^{a-1}.u'$ |
Ví dụ minh họa:
Tính đạo hàm của hàm sau: $(x^{2}+2x-5)^{3}$
Áp dụng công thức đạo hàm với hàm hợp: $(u^{a})'=au^{a-1}.u'$ , ta có:
$((x^{2}+2x-5)^{3})'=3.(x^{2}+2x-5)^{2}.(2x+2)$
III. Khảo sát hàm số lũy thừa $y=x^{a}$
Tương tự bài toán khảo sát hàm số đã học ở chương 1, khảo sát hàm số lũy thừa $y=x^{a}$ cũng tuân thủ đầy đủ các bước thực hiện đó.
- Bước 1: Tập xác định ( hay còn gọi là tập khảo sát).
- Bước 2: Xét sự biến thiên( biểu diễn bằng bảng biến thiên hàm số).
- Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số đã cho( dựa vào bảng biến thiên vừa vẽ).
Cụ thể:
- Bảng biến thiên:
- Đồ thi:
- Chú ý: Khi khảo sát hàm lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1: Trang 60- sgk giải tích 12
Tìm tập xác định của hàm số sau:
a) $y=(1-x)^{-\frac{1}{3}}$
b) $y=(2-x^{2})^{\frac{3}{5}}$
c) $y=(x^{2}-1)^{-2}$
d) $y=(x^{2}-x-2)^{\sqrt{2}}$
Xem lời giải
Câu 2: Trang 61- sgk giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a) $y=(2x^{2}-x+1)^{\frac{1}{3}}$
b) $y=(4-x-x^{2})^{\frac{1}{4}}$
c) $y=(3x+1)^{\frac{\prod}{2}}$
d) $y=(5-x)^{\sqrt{3}}$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 61- sgk giải tích 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y=x^{\frac{4}{3}}$
b) $y=x^{-3}$
Xem lời giải
Câu 4: Trang 61- sgk giải tích 12
Hãy so sánh các số sau với 1:
a) $(4,1)^{2,7}$
b) $(0,2)^{0,3}$
c) $(0,7)^{3,2}$
d) $\sqrt{3}^{0,4}$
Xem lời giải
Câu 5: Trang 61- sgk giải tích 12
Hãy so sánh các cặp số sau:
a) $(3,1)^{7,2}$ và $(4,3)^{7,2}$
b) $(\frac{10}{11})^{2,3}$ và $(\frac{12}{11})^{2,3}$
c) $(0,3)^{0,3}$ và $(0,2)^{0,3}$