Cách giải bài toán dạng: Đại lượng tỉ lệ nghịch và một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch Toán lớp 7

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch, hệ số tỉ lệ và các giá trị tương ứng của chúng

Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo tỉ số k khi xy = k (k là hằng số khác 0).

Chú ý: Để xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết các giá trị tương ứng của chúng, ta cần lập tất cả các tích các giá trị tương ứng của chúng và xem có bằng nhau không.

Ví dụ 1: Hãy xác định hai đại lượng đã cho trong mỗi câu sau có tỉ lệ nghịch với nhau không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ.

a) Chiều dài x và chiều rộng y của hình chữ nhật có diện tích bằng a (a là số cho trước)

b) Vận tốc v và thời gian t khi đi cùng quãng đường S.

c) Diện tích S và bán kính R của hình tròn.

d) Năng suất lao động n và thời gian thực hiện t để làm xong một công việc a.

Hướng dẫn:

a) Do a = xy nên chiều dài x và chiều rộng y của hình chữ nhật tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số a.

b) Do S = vt nên vận tốc v và thời gian t tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số S.

c) Do S = $\pi R^{2}$ nên S và R không tỉ lệ nghịch với nhau.

d) Do s = nt nên năng suất lao động n và thời gian t tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số a.

2. Toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, trước hết cần xác định quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng, rồi áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

x₁y₁ = x₂y₂ = a $\Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{2}}{x_{1}}$

Ví dụ 2: Một ô tô chạy từ A đến B hết 3 giờ. Hỏi một ô tô khác chạy từ A đến B với vận tốc bằng 1,2 lần ô tô trước thì hết bao nhiêu giờ?

Hướng dẫn:

Vì trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó, thời gian ô tô đi với vận tốc 1,2 lần ô tô ban đầu đi từ A đến B là t₂ thì ta có:

$\frac{t2}{3}=\frac{1}{1,2}\Rightarrow t_{2}=2,5$ (giờ)

Vậy ô tô khác chạy từ A đến B hết 2,5 giờ.

3. Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước

Giả sử phải chia số M thành ba phần x, y, z tỉ lệ nghịch với các số a, b, c khác 0 cho trước. Ta có:

ax = by = cz hay $\frac{x}{\frac{1}{a}}=\frac{y}{\frac{1}{b}}=\frac{z}{\frac{1}{c}}$ và x + y + z = M

Như vậy đưa bài toán về chia số M thành các phần tỉ lệ thuận với các số $\frac{1}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c}$ (đã biết cách giải)

Ví dụ 3: Người ta chia một khu đất thành ba mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Biết rằng các chiều rộng là 5m, 10m, 12m ; các chiều dài của ba mảnh có tổng bằng 138m. Hãy tìm chiều dài mỗi mảnh và diện tích khu đất.

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài của các hình chữ nhật có chiều rộng 5m, 10m, 12m thứ tự là x, y, z (m ;  x,y,z >0).

Theo đề bài ta có:

5x = 10y = 12z và x + y + z = 138.

Suy ra: 

$\frac{x}{\frac{1}{5}}=\frac{y}{\frac{1}{10}}=\frac{z}{\frac{1}{12}}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}}=\frac{138}{\frac{23}{60}}=360$

Do đó: 

x = $\frac{1}{5}.360=72$

y = $\frac{1}{10}.360=72$

z = $\frac{1}{12}.360=30$

Vậy chiều dài của các hình chữ nhật có chiều rộng 5m, 10m, 12m lần lượt là 72m, 36m, 30m.

Diện tích của khu đất là:    3.5.72 = 1080($m^{2}$)