A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Lập bảng tần số
Để lập bảng tần số trước hết cần xác định được dấu hiệu; các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tần số của từng giá trị đó. Từ đó lập bảng tần số gồm hai dòng (nếu theo dạng ngang) hoặc gồm hai cột (nếu theo dạng dọc); giá trị (x) và tần số (n) của nó.
Ví dụ 1: Thời gian giải một bài toán (tính theo phút) của 30 học sinh được ghi trong bảng sau:
| 5 | 7 | 8 | 9 | 5 | 6 | 13 | 5 | 8 | 13 |
| 6 | 12 | 5 | 6 | 12 | 9 | 5 | 6 | 15 | 10 |
| 9 | 13 | 15 | 13 | 8 | 7 | 13 | 12 | 9 | 15 |
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Hãy lập bảng tần số theo dạng ngang và dạng dọc.
c) Từ đó, hãy rút ra một số nhận xét.
Hướng dẫn:
a) Dấu hiệu: Thời gian giải một bài toán (tính theo phút) của mỗi học sinh.
b) Có 9 giá trị khác nhau là 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15.
Với các tần số tương ứng là 5, 4, 2, 3, 4, 1, 3, 5, 3.
Ta có bảng tần số dạng ngang
| Giá trị (x) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 15 | |
| Tần số (n) | 5 | 4 | 2 | 3 | 4 | 1 | 3 | 5 | 3 | N = 30 |
Bảng tần số dọc:
| Giá trị (x) | Tần số (n) |
| 5 | 5 |
| 6 | 4 |
| 7 | 2 |
| 8 | 3 |
| 9 | 4 |
| 10 | 1 |
| 12 | 3 |
| 13 | 5 |
| 15 | 3 |
| N = 30 |
Nhận xét:
- Cả 30 học sinh đều giải được bài toán đã cho.
- Thời gian giải bài là 5 phút, 6 phút, 7 phút, 8 phút, 9 phút, 10 phút, 12 phút, 13 phút, 15 phút.
- Thời gian giải bài toán nhanh nhất là 5 phút, lâu nhất là 15 phút.
- Số người giải bài nhanh (5 phút) chiếm 17%.
2. Tính số trung bình cộng
- Số trung bình cộng thường được dùng làm đại diện cho dấu hiệu, đặc biệt khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại
Số trung bình cộng là trung bình tất cả các giá trị được thống kê được kí hiệu là $\overline{X}$
$\overline{X}=\frac{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}+...+x_{k}n_{k}}{n_{1}+n_{2}+...+n_{k}}$
(trong đó $x_{1};x_{2};...;x_{k}$ là các giá trị khác nhau của X
$n_{1};n_{2};...;n_{k}$ là các tần số tương ứng)
Để tính số trung bình cộng của dấu hiệu trước hết ta nên lập bảng tần số để xác định được các giá trị khác nhau của dấu hiệu và các tần số tương ứng của chúng, rồi áp dụng công thức tính $\overline{X}$
Ví dụ 2: Số cân nặng (làm tròn đến kilôgam) của 20 học sinh được ghi trong bảng sau:
| 32 | 35 | 45 | 38 | 32 | 35 | 42 | 38 | 35 | 38 |
| 30 | 38 | 35 | 45 | 38 | 38 | 35 | 32 | 38 | 35 |
a) Hãy lập bảng tần số.
b) Dấu hiệu ở đây là gì? Tính số trung bình cộng của dấu hiệu
c) Nêu nhận xét.
Hướng dẫn:
a)
| Số cân (x) | 30 | 32 | 35 | 38 | 42 | 45 | |
| Tần số (n) | 1 | 3 | 6 | 7 | 1 | 2 | N = 20 |
b) Dấu hiệu ở đây là số cân nặng của mỗi học sinh
Số trung bình cộng của dấu hiệu là:
$\overline{X}=\frac{30.1+32.3+35.6+38.7+42.1+45.2}{20}=\frac{734}{20}\approx 36,7$
c) Nhận xét: Số cân nặng trung bình của 20 em học sinh là 36,7.
Bạn nặng nhất 45kg, bạn nhẹ nhất 30kg.
Số học sinh cân nặng từ 35 đến 38 chiếm đa số.
3. Mốt
Mốt của dấu hiệu là giá tri có tần số lớn nhất, kí hiệu là M0.
Có những dấu hiệu có nhiều hơn một mốt.
Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng chênh lệch rất lớn thì người ta chọn mốt làm đại diện của dấu hiệu thay cho số trung bình cộng.
Ví dụ 3: Hai đội tuyển của hai trường THCS A và B thi học sinh giỏi Toán cấp Quận đạt điểm như sau (thang điểm 10) :
Trường A: 8, 10, 9, 7, 7, 6, 5, 6, 6, 6
Trường B: 7, 7, 10, 4, 3, 4, 7, 8, 9, 9
a) Tính điểm trung bình của học sinh từng trường.
b) Tìm mốt của dấu hiệu
c) Nhận xét, so sánh kết quả của hai trường.
Hướng dẫn:
a) Điểm trung bình của đội tuyển trường A là:
$\overline{X_{A}}=\frac{10+9+8+7.2+6.4+5}{10}=7$
Điểm trung bình của đội tuyển trường B là:
$\overline{X_{B}}=\frac{10+9.2+8+7.3+4.2+3}{10}=6,8$
b) Ở trường A: mốt của dấu hiệu là MA = 6 (điểm 6 có nhiều học sinh đạt nhất)
Ở trường B: mốt của dấu hiệu là MB = 7 (điểm 7 có nhiều học sinh đạt nhất)
c) Nhận xét:
Điểm trung bình của đội truyển trường A cao hơn trường B nhưng điểm số có học sinh đạt được ở trường A thấp hơn điểm số có nhiều học sinh đạt được ở trường B.
B. Bài tập & Lời giải
1. Kết quả điều tra tháng sinh của 45 học sinh trong một lớp 7 được ghi lại trong bảng sau:
| 1 | 2 | 5 | 6 | 3 | 4 | 9 | 10 | 9 |
| 2 | 3 | 1 | 9 | 10 | 5 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 6 | 4 | 10 | 9 | 7 | 10 | 4 | 2 |
| 4 | 7 | 3 | 11 | 10 | 9 | 10 | 9 | 4 |
| 5 | 9 | 10 | 12 | 11 | 10 | 12 | 9 | 10 |
a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là gì? Số đơn vị điều tra?
b) Lập bảng tần số và rút ra nhận xét về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất.
2. Cho bảng tần số sau:
| Giá trị (x) | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | |
| Tần số (n) | 3 | 4 | 1 | 5 | 7 | N = 20 |
Từ bảng này, hãy viết lại một bảng số liệu thống kê ban đầu.
Xem lời giải
3. Một cửa hàng bán dép ghi lại số dép đã bán cho nữ trong một tuần theo các cỡ khác nhau như sau:
| Cỡ dép (x) | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | |
| Số dép bán được (n) | 2 | 3 | 30 | 25 | 12 | 1 | 1 | N = 74 |
a) Tính số trung bình cộng và mốt của dấu hiệu.
b) Số nào có thể là đại diện cho dấu hiệu? Vì sao?
c) Rút ra kết luận gì?
4. Điều tra về số con của 50 gia đình ở một tổ dân phố, ta có bảng sau:
| Số con (x) | Tần số (n) | Các tích xn | |
| 1 | 10 | 10 | |
| 2 | 35 | 70 | |
| 3 | ... | ... | |
| 4 | ... | ... | |
| N = 50 | Tổng 97 | $\overline{X}$ |
Do sơ ý, người thống kê đã làm nhòe một số chỗ. Hãy khôi phục lại bảng đó bằng cách điền các số thích hợp vào chỗ trống (...)
5. Trung bình cộng của các giá trị thay đổi thế nào nếu:
a) Mỗi giá trị tăng thêm a đơn vị.
b) Mỗi giá trị tăng gấp b lần.
6. Hai xạ thủ A và B cùng bắn 10 phát đạn; kết quả thu được ghi lại dưới đây:
Xạ thủ A: 8, 10, 10, 10, 8, 9, 9, 9, 10, 8
Xạ thủ B: 10, 10, 9, 10, 9, 9, 9, 10, 10, 10
a) Hãy tính điểm trung bình của mỗi xạ thủ
b) Có nhận xét gì về kết quả và khả năng của từng người.