A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Muốn chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân. Ngoài các cách chứng minh đã nêu ở bài học trước. Còn có cách chứng minh thứ ba là chứng minh tam giác đó vuông và có một góc nhọn $45^{\circ}$
- Với tam giác vuông cân bất kì thì ba góc trong tam giác đã biết. Vì vậy muốn chứng minh hai tam giác vuông cân bằng nhau chỉ cần có một cạnh bằng nhau là đủ (có thể là cạnh huyền bằng nhau hoặc một cạnh góc vuông bằng nhau).
- Ta có định lí: Trong một tam giác vuông có góc nhọn $30^{\circ}$ thì cạnh đối diện với góc đó có độ dài bằng $\frac{1}{2}$ độ dài cạnh huyền của tam giác đó.
- Chú ý: Nếu chứng minh hai tam giác bằng nhau mà một trong hai tam giác đó chưa biết là tam giác vuông thì ta vẫn phải áp dụng ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường để từ đó suy ra kết quả: Tam giác thứ nhất có góc vuông thì tam giác thứ hai cũng có góc vuông tương ứng.
Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC cân (AB = AC). Từ B kẻ BH $\perp $ AC, CK $\perp $ AB. Chứng minh rằng:
a) BH = CK
b) BH và CK cắt nhau tại O. Tia OA cắt BC tại I. Chứng minh AI $\perp $ BC.
Hướng dẫn:
a) Xét $\Delta $BHC và $\Delta $CKB là 2 tam giác vuông tại H và K có:
- chung cạnh huyền BC
- $\widehat{BCH}=\widehat{CBK}$
$\Rightarrow $ $\Delta $BHC = $\Delta $CKB (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow $ BH = CK
b) Có: $\Delta $BHC = $\Delta $CKB $\Rightarrow $ BK = HC. Mà AB = AC
$\Rightarrow $ AB - BK = AC - CH Hay AK = AH
Xét $\Delta $AKO và $\Delta $AHO là 2 tam giác vuông tại H và K có:
- chung cạnh huyền OA
- AK = AH
$\Rightarrow $ $\Delta $AKO = $\Delta $AHO (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$
Xét $\Delta $ABI và $\Delta $ACI có:
- $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$
- $\widehat{B}=\widehat{C}$
Hai tam giác có 2 góc tương ứng bằng nhau nên góc thứ ba còn lại cũng tương ứng bằng nhau
$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}$
Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^{\circ}$
Do đó AI $\perp $ BC
B. Bài tập & Lời giải
1. Cho $\Delta $ABC vuông tại A. Hạ AH $\perp $ BC (H thuộc BC). Từ H hạ HE $\perp $ AB (E thuộc AB) và HF $\perp $ AC (F thuộc AC)
a) Chứng minh: EF = AH
b) EF cắt AH tại O. Chứng minh: OA = OH; OE = OF.
c) Chứng minh: $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AHE}=\widehat{ABC}$
2. Cho $\Delta $ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d (đường thẳng d cắt BC tại một điểm ngoài đường thẳng BC). Từ B hạ BE $\perp $ d (E thuộc d). Từ C hạ CF $\perp $ d (F thuộc d). So sánh độ dài hai đoạn thẳng BE và CF với độ dài đoạn thẳng EF.
3. Cho $\Delta $ABC có 3 góc nhọn và O là điểm bất kì trong tam giác. Từ O hạ OM $\perp $ AC (M thuộc AC); OI $\perp $ AB (I thuộc AB). Hạ OH $\perp $ BC (H thuộc BC). Chứng minh rằng : $AI^{2}+BH^{2}+CM^{2}=AM^{2}+CH^{2}+BI^{2}$
4. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho $\widehat{BAE}=15^{\circ}$, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho $\widehat{DAF}=30^{\circ}$. Từ B hạ BH $\perp $ AE (H thuộc AE) và trên tia đối của tia HB lấy điểm P sao cho HP = HB. Chứng minh rằng:
a) $\Delta $ABP cân tại A.
b) $\Delta $APD là tam giác đều.
c) Các điểm E, P, F thẳng hàng.
d) Có nhận xét gì về $\Delta $FPD và số đo các góc của tam giác đó.