A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định đa thức và bậc của đa thức
- Một đơn thức hoặc một tổng (hiệu) của các đơn thức là đa thức.
- Để xác định bậc của đa thức ta cần tiến hành như sau:
- Thu gọn đa thức
- Xác định hạng tử có bậc cao nhất. Bậc của hạng tử này chính là bậc của đa thức.
Ví dụ 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức:
$5x^{4}-\frac{3}{4}x^{3}+2x^{2}-\frac{1}{4}x+1$ ; $\frac{3x^{3}y+3yz}{a^{2}+2}$ (a là hằng số)
$\frac{3xy-4y^{2}}{y^{2}+2}$ ; $\sqrt{55}$ ; $\frac{x^{3}+2x^{2}}{(2a-3)x+4}$ (a là hằng số)
Hướng dẫn:
Các đa thức trong các biểu thức là:
$5x^{4}-\frac{3}{4}x^{3}+2x^{2}-\frac{1}{4}x+1$
$\frac{3x^{3}y+3yz}{a^{2}+2}$
$\frac{3xy-4y^{2}}{y^{2}+2}$
$\sqrt{55}$
Biểu thức $\frac{x^{3}+2x^{2}}{(2a-3)x+4}$ là đa thức khi 2a - 3 = 0 hay a = $\frac{3}{2}$
Ví dụ 2: Thu gọn rồi tìm bậc của đa thức
A = $3x^{2}y - \frac{1}{2}xy^{2}+\frac{1}{3}x^{2}y+\frac{2}{3}xy^{2}+1$
Hướng dẫn:
A = $3x^{2}y - \frac{1}{2}xy^{2}+\frac{1}{3}x^{2}y+\frac{2}{3}xy^{2}+1$
= $\left ( 3x^{2}y+\frac{1}{3}x^{2}y \right ) + \left ( \frac{2}{3}xy^{2}- \frac{1}{2}xy^{2} \right ) + 1$
= $\frac{10}{3}x^{2}y+\frac{1}{6}xy^{2}+1$
Bậc cao nhất của hạng tử là : 2+1 = 3. Do đó bậc của đa thức là 3.
2. Cộng trừ các đa thức
Để cộng, trừ hai đa thức, ta thực hiện các bước sau:
- Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
- Bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
- Nhóm các hạng tử đồng dạng
- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
Ví dụ 3: Cho hai đa thức:
P = $4x^{2}y^{2}-3xy^{3}+5xy+4$
Q = $4xy^{3}-2+xy-2x^{2}y^{2}$
Tính P + Q và P - Q
Hướng dẫn:
P + Q = $(4x^{2}y^{2}-3xy^{3}+5xy+4) + (4xy^{3}-2+xy-2x^{2}y^{2})$
= $4x^{2}y^{2}-3xy^{3}+5xy+4 + 4xy^{3}-2+xy-2x^{2}y^{2}$
= $(4x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2})+(4xy^{3}-3xy^{3})+(5xy+xy) + (4-2)$
= $2x^{2}y^{2} + xy^{3} + 6xy +2$
P - Q = $(4x^{2}y^{2}-3xy^{3}+5xy+4) - (4xy^{3}-2+xy-2x^{2}y^{2})$
= $4x^{2}y^{2}-3xy^{3}+5xy+4 - 4xy^{3}+2-xy+2x^{2}y^{2}$
= $(4x^{2}y^{2}+2x^{2}y^{2})-(3xy^{3}+4xy^{3}) + (5xy-xy)+(4+2)$
= $6x^{2}y^{2}-7xy^{3}+4xy+6$
B. Bài tập & Lời giải
1. Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đa thức, biểu thức nào là đa thức chưa thu gọn?
$3x^{2}-5xy+4y^{2}$ ; $\frac{-x^{2}+3x-5}{x+2}$
$x^{2}y^{2}-2xy^{2}+xy^{2}-3x^{2}y^{2}$ ; $\frac{15x^{2}y+4x}{2a-1}$ (a là hằng số khác $\frac{1}{2}$)
2. Thu gọn các đa thức sau và xác định bậc của mỗi đa thức:
a) A = $15xyz - 3x^{5}+4xyz - y^{4}+5x^{5}$
b) B = $4u^{2}v+6u^{2}v^{2}-12u^{2}v-4u^{2}v^{2}-7u+1$
3. Tính giá trị của các đa thức sau:
a) A = $5x^{3}y-4xy^{3}-5x^{3}y+1$ với x = 1; y = -1
b) B = $\frac{-4}{5}uv^{2}+3u^{2}v^{2}-\frac{1}{2}v^{2}+\frac{3}{5}uv^{2}$ với u = 3; v = -1.
Xem lời giải
4. Cho các đa thức:
M = $2x^{2}y^{2}-3xy^{2}-2xy+1$
N = $2xy^{2}+3+xy-x^{2}y^{2}$
P = $xy+\frac{3}{2}+xy^{2}+3x^{2}y^{2}$
a) Tính M - N + P và M - N - P
b) Chứng tỏ rằng M + N + P luôn nhận giá trị dương với giá trị bất kì của x, y.
5. Tìm đa thức A, B biết rằng:
a) $A + (x^{3}-xyz+3x^{2}y+3xz^{2})=y^{3}-xyz-3xz^{2}$
b) $B - (x^{2}+xy+y^{2})=2x^{2}-xy+y^{2}$
6. Cho hai đa thức P = $5x^{2}-3xy-y^{2}$ và Q = $3xy - 3x^{2}+2y^{2}$. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x và y để hai đa thức P và Q cùng nhận giá trị âm.