A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Muốn chứng minh một đường thẳng là tia phân giác của một góc có ba cách chứng minh
- Muốn chứng minh một điểm là giao điểm của va đường phân giác trong tam giác:
- Cách 1: Chứng minh điểm đó cách đều ba cạnh
- Cách 2: Chứng minh điểm đó là giao của hai đường phân giác của tam giác
- Ta có thể chứng minh được trong một tam giác, phân giác của hai góc ngoài và tia phân giác của góc trong không kề với nó cùng đi qua một điểm. Điểm đó cũng cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC, đường phân giác của góc $\widehat{A}$ và đường phân giác của góc $\widehat{B}$ cắt nhau tại O. Qua O kẻ EF // BC (E thuộc AB, F thuộc AC). Chứng minh rằng: EF = BE + CF
Hướng dẫn:
$\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$
$\widehat{O_{1}}=\widehat{B_{2}}$ (hai góc so le trong tạo bởi EF // BC)
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}=\widehat{B_{1}}$
Xét $\Delta $BOE có: $\widehat{O_{1}}=\widehat{B_{1}}$
$\Rightarrow $ $\Delta $BOE cân tại E
$\Rightarrow $ BE = EO
Tương tự ta có $\Delta $CFO cân tại F $\Rightarrow $ FO = FC
$\Rightarrow $ BE + FC = EO + FO hay EF = BE + CF
B. Bài tập & Lời giải
1. Cho $\Delta $ABC (AB > AC), gọi AD là tia phân giác của góc $\widehat{A}$. I là giao điểm của ba đường phân giác trong $\Delta $ABC, từ I hạ IH $\perp $ BC (H thuộc BC). Chứng minh rằng $\widehat{BIH}=\widehat{CID}$
2. Cho $\Delta $ABC, đường phân giác của góc $\widehat{A}$ cắt BC tại E Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F, qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại P. Chứng minh rằng AP = AF.
3. Cho $\Delta $ABC là tam giác đều. Qua B kẻ đường thẳng xy // AC và hạ BM $\perp $ AC (M thuộc AC). Qua C kẻ đường thẳng x'y' $\perp $ AB và hạ CN $\perp $ AB (N thuộc AB). Hai đường thẳng xy và x'y' cắt nhau tại P. Chứng minh rằng:
a) Đường phân giác của góc $\widehat{A}$ và hai đường BF, CF đồng quy.
b) Đường phân giác của góc $\widehat{A}$ và hai đường xy và x'y' đồng quy
4. Cho $\Delta $ABC, 3 đường phân giác của góc trong cắt nhau tại I. Qua A kẻ đường thẳng xy $\perp $ IA. Đường thẳng xy cắt BI tại M và cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) NB $\perp $ BM, NC $\perp $ CM
b) Ba đường thẳng NB, MC và AI đồng quy.