Cách giải bài toán dạng: Lũy thừa của số hữu tỉ Toán lớp 7

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ

Ta viết như dạng lũy thừa của một số nguyên.

Ví dụ 1: Viết số $\frac{16}{81}$ dưới dạng một lũy thừa, ví dụ như $\frac{16}{81}=\left (\frac{4}{9}  \right )^{2}$. Hãy tìm các cách viết khác:

Hướng dẫn:

$\frac{16}{81}=\left (\frac{-4}{9}  \right )^{2}=\left (\frac{2}{3}  \right )^{4}=\left (\frac{-2}{3}  \right )^{4}$

2. Tìm số chưa biết

* Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa

Ta đưa về hai lũy thừa về cùng số mũ. 

Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chăn, học sinh cần xét hai trường hợp.

Ví dụ 2: Tìm x biết:

a) $x^{3}=-27$

b) $(2x-1)^{3}=8$

c) $(x-2)^{2}=16$

d) $(2x-3)^{2}=9$

Hướng dẫn: 

a) $x^{3}=-27$

  $\Leftrightarrow x^{3} = (-3)^{3}$

  $\Leftrightarrow x = -3$

 Vậy x = -3

b) $(2x-1)^{3}=8$

  $\Leftrightarrow (2x-1)^{3}=2^{3}$

  $\Leftrightarrow 2x - 1 = 2$

  $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

 Vậy $x=\frac{3}{2}$

c) $(x-2)^{2}=16$

  $\Leftrightarrow (x-2)^{2}=4^{2}$

  $\Leftrightarrow x-2=4$ hoặc $x-2=-4$

  $\Leftrightarrow x=6$ hoặc $x=-2$

 Vậy $x=6$ hoặc $x=-2$

d) $(2x-3)^{2}=9$

  $\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=3^{2}$

  $\Leftrightarrow 2x - 3 = 3$ hoặc $2x - 3 = -3$

  $\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=0$

 Vậy $x=3$ hoặc $x=0$

* Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa

Ta đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số

Ví dụ 3: a) $2008^{n}=1$

b) $32^{-n}.16^{n}=1024$

c) $5^{n}+5^{n+2}=650$

Hướng dẫn:

a) $2008^{n}=1$

  $\Leftrightarrow 2008^{n} = 2008^{0}$

  $\Leftrightarrow n=0$

b) $32^{-n}.16^{n}=1024$

  $\Leftrightarrow (2.16)^{-n}.16^{n}=1024$

  $\Leftrightarrow 2^{-n}.16^{n}.16^{n}=1024$

  $\Leftrightarrow 2^{-n}=2^{10}$

  $\Leftrightarrow n=-10$

c) $5^{n}+5^{n+2}=650$

  $\Leftrightarrow 5^{n}+5^{n}.5^{2}=650$

  $\Leftrightarrow 5^{n}.(1+25)=650$

  $\Leftrightarrow 5^{n}=25$

  $\Leftrightarrow 5^{n}=5^{2}$

  $\Leftrightarrow n=2$

3. So sánh hai lũy thừa

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc dùng lũy thừa trung gian để so sánh.

Lưu ý một số tính chất:

Với a, b, m, n $\in N$, ta có:

$a > b \Leftrightarrow a^{n} > b^{n}\forall n\in N*$

$m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}(a>1)$

a = 0 hoặc a = 1 thì $a^{m}=a^{n}$ ($m, n \neq 0$)

Với A, B là các biểu thức ta có:

$A^{n}>B^{n}\Leftrightarrow A>B>0$

$A^{m}>A^{n}\Leftrightarrow m >n; A>1$ hoặc  $m <n; A<1$

Ví dụ 4: So sánh A và B biết:

A = $\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}$

B = $\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}$

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất: Nếu $\frac{a}{b}<1$ thì $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$ với a, b, c là các số tự nhiên khác 0.

Ta có:

A = $\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}<\frac{2008^{2008}+1+2007}{2008^{2009}+1+2007}=\frac{2008^{2008}+2008}{2008^{2009}+2008}=\frac{2008.(2008^{2007}+1)}{2008.(2008^{2008}+1)}=\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}$=B

Vậy A < B

4. Tính toán các lũy thừa

Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.

Ví dụ 5: Tìm giá trị của biểu thức sau:

a) $\frac{4^{3}.4^{2}}{2^{10}}$

b) $\frac{(0,6)^{5}}{(0,2)^{6}}$

Hướng dẫn:

a) $\frac{4^{3}.4^{2}}{2^{10}}$ = $\frac{4^{5}}{(2^{2})^{5}}$ = $\frac{4^{5}}{4^{5}}$ = 1

b) $\frac{(0,6)^{5}}{(0,2)^{6}}$ = $\frac{(0,2.3)^{5}}{(0,2)^{6}}$ = $\frac{(0,2)^{5}.3^{5}}{(0,2)^{6}}$ = $\frac{3^{5}}{0,2}$ = 1215