Cách giải bài toán dạng: Tỉ lệ thức. Các tính chất của tỉ lệ thức Toán lớp 7

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Lập tỉ lệ thức

Tỉ số của hai số hữu tỉ a, b (b $\neq $ 0) là thương của a chia cho b, kí hiệu là $\frac{a}{b}$ hay a : b

Để lập tỉ lệ thức từ các số đã cho, ta cần xác định các bộ 4 số a, b, c, d sao cho ac = bd. Rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để viết được bốn tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$; $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$; $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$; $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

Ví dụ 1: Lập các tỉ lệ thức có được từ 4 số sau: -25 ; -2 ; 4 ; 50

Hướng dẫn:

Ta có: (-25).4 = (-2).50

Từ đó ta có thể viết được các cặp tỉ lệ thức sau:

$\frac{-25}{-2}=\frac{50}{4}$; $\frac{-25}{50}=\frac{-2}{4}$; $\frac{4}{-2}=\frac{50}{-25}$; $\frac{4}{50}=\frac{-2}{-25}$

2. Tìm các số hạng của tỉ lệ thức

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra a = $\frac{bc}{d}$; b = $\frac{ad}{c}$; c= $\frac{ad}{b}$; d = $\frac{bc}{a}$

Có thể vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số hạng của tỉ lệ thức

Ví dụ 2: Tìm hai số x và y biết: 

a) $\frac{x}{5}=\frac{y}{25}$ và x + y = 60

b) $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}$ và x.y = 2100

Hướng dẫn:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{25}=\frac{x+y}{5+25}=\frac{60}{30}=2$

Suy ra x = 10 và y = 50.

b) Từ $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}$ suy ra y = $\frac{7x}{3}$. Thay vào xy = 2100 ta có:

$\frac{7x^{2}}{3}=2100\Leftrightarrow x^{2}=\frac{3.2100}{7}=900\Leftrightarrow x=30$ hoặc $x=-30$

+) x = 30 thì y = 70

+) x = -30 thì y = -70

3. Chứng minh tỉ lệ thức

Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Để chứng minh tỉ lệ thức $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ta có thể làm:

Cách 1: Chứng minh tỉ số $\frac{A}{B}$ bằng tỉ số $\frac{C}{D}$; hoặc chứng minh AD = BC

Cách 2: Xuất phát từ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để tạo ra được tỉ lệ thức $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$

Ví dụ 3: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{3a+2c}{3b+2d}=\frac{-5a+3c}{-5b+3d}$

b) $\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{2c^{2}-ac}{2d^{2}-bd}$

Hướng dẫn:

a) $\frac{3a+2c}{3b+2d}=\frac{-5a+3c}{-5b+3d}$

 Từ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

   $\frac{a}{b}=\frac{3a}{3b}=\frac{2c}{2d}=\frac{3a+2c}{3b+2d}$

   $\frac{a}{b}=\frac{-5a}{-5b}=\frac{3c}{3d}=\frac{-5a+3c}{-5b+3d}$

Do đó $\frac{3a+2c}{3b+2d}=\frac{-5a+3c}{-5b+3d}$

b) $\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{2c^{2}-ac}{2d^{2}-bd}$

 Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow $

$\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{2c^{2}}{2d^{2}}=\frac{ac}{bd}=\frac{2c^{2}-ac}{2d^{2}-bd}$

4. Giải toán có liên quan đến tỉ lệ thức

- Để giải bài toán thực tế có liên quan đến tỉ lệ thức ta tiến hành thứ tự theo các bước sau:

Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện của ẩn

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa ẩn với các điều kiện đã cho để lập được tỉ lệ thức.

Bước 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức để giải tìm ẩn.

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện để kết luận đáp số của bài toán.

- Bài toán cơ bản:

1) Tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) S và tỉ số giữa chúng là $\frac{a}{b}$

Gọi hai số là x và y. Ta có x + y = S; $\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$

Do đó từ $\frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ suy ra $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x+y}{a+b}=\frac{S}{a+b}$ nên $x = \frac{a.S}{a+b}$;  $y = \frac{b.S}{a+b}$

2) Chia một số M thành các phần tỉ lệ với a, b, c

Gọi các phần chia ra là x, y, z

Ta có x + y + z = M và $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{c}{z}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{c}{z}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{M}{a+b+c}$

nên $x =\frac{a.M}{a+b+c}$ ; $y=\frac{b.M}{a+b+c}$ ; $z =\frac{c.M}{a+b+c}$ 

Ví dụ 4: Lớp 7A có số học sinh nam hơn số học sinh nữ là 9. Tỉ số giữa số học sinh nam và nữ là 1,5. Tính tổng số học sinh của lớp 7A.

Hướng dẫn:

Gọi số học sinh nam là x, số học sinh nữ là y (x, y là các số tự nhiên)

Theo bài ra ta có: x - y = 9 và $\frac{x}{y}$ = 1,5

Suy ra $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{x+y}{3+2}=\frac{x-y}{3-2}=\frac{9}{1}=9$

Do đó x + y = 9.5 = 45

Vậy tổng số học sinh của lớp 7A là 45 em.