Cách giải bài toán dạng: Tính chất ba đường cao của tam giác Toán lớp 7

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Khi điểm H là trục tâm của tam giác ABC:

  + Quan hệ giữa trực tậm và tam giác:

• Nếu H là trực tâm của $\Delta $ABC thì một trong số bốn điểm H, A, B, C sẽ là trực tâm của tam giác có đỉnh là ba điểm còn lại (vẽ hình để chứng tỏ điều đó). Vì vậy tùy theo bài toán ta vận dụng cho phù hợp.

  + Quan hệ giữa các đáy với góc ở đỉnh và vị trí của trực tâm:

• Nếu ba góc đều nhọn thì trực tâm nằm trong tam giác (hình a)
• Nếu góc ở đỉnh bằng $90^{\circ}$ thì trực tâm tại đỉnh góc $90^{\circ}$ (hình b)
• Nếu góc ở đỉnh là góc tù thì trực tâm nằm ngoài tam giác. (hình c)

- Ứng dụng:

• Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
• Muốn tìm trực tâm của tam giác chỉ cần vẽ chính xác hai đường cao
• Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta cần chứng minh có một đường thẳng đi qua một đỉnh và đồng thời là hai trong bốn đường (trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao) thì tam giác đó cân
• Trong tam giác đều đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực, đường phân giác xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H, trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BH. Chứng minh rằng:

a) DH $\perp $ AC

b) CH $\perp $ AD

Hướng dẫn:

a) $\Delta $ABC vuông cân tại B nên $\widehat{C}=45^{\circ}$

$\Delta $BDH có $\widehat{B}=90^{\circ}$ (theo giả thiết); BH = BD

Do đó $\Delta $BDH vuông cân tại B, suy ra $\widehat{D}=45^{\circ}$

$\Delta $DIC có $\widehat{D}+\widehat{C}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{DIC}=90^{\circ}$

Do đó DH $\perp $ AC

b) $\Delta $ADC có AB $\perp $ BC; DH $\perp $ AC

Suy ra H là trực tâm của $\Delta $ADC, suy ra CH cũng là đường cao của tam giác.

Do đó CH $\perp $ AD