Bài 3: (2,5 điểm)
Cho phương trình (ẩn $x$): $x^{2} – 2(m+1)x + m^{2} +1 = 0 (*)$ (m là tham số)
a. Giải phương trình (*) với m = 2
b. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} – 2x_{2} = -1$
Bài Làm:
Với m = 2, phương trình (*) trở thành:
$x^{2}-2(2+1)x+4+1 = 0\Leftrightarrow x^{2}-6x +5 = 0\Leftrightarrow (x-1)(x-5)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1 = 0& & \\ x - 5 = 0& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1& & \\ x=5& & \end{matrix}\right.$
Vậy, với m = 2 thì phương trình (*) có tập nghiệm S = {1;5}
b. Xét phương trình $x^{2} – 2(m + 1)x + m^{2} +1 = 0 (*)$ có:
$\Delta '=\left [ -(m+1) \right ]^{2}-1.(m^{2}+1)=m^{2}+2m+1-m^{2}-1=2m$
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta '$ > 0 <=> 2m > 0 <=>m >0 (1)
Với $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (*), theo Vi-et ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2(m+1)(2)& & \\ x_{1}x_{2}=m^{2}+1 (3)& & \end{matrix}\right.$
Theo giả thiết, ta có: $x_{1} – 2x_{2} = -1$ nên kết hợp với (2), ta được:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}= 2(m+1)& & \\ x_{1}-2x_{2}= -1& & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m+2& & \\ 3x_{2}=2m + 3& & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{2}=\frac{2m+3}{3}& & \\ x_{1}+\frac{2m+3}{3}=2m +2& & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{2}=\frac{2m+3}{3}& & \\x_{1}=\frac{4m+3}{3}& & \end{matrix}\right.$
Thế vào (3) ta được:
$\frac{2m+3}{3}.\frac{4m+3}{3}=m^{2}+1$
$\Leftrightarrow (2m+3).(4m+3)=9(m^{2}+1)$
$\Leftrightarrow 8m^{2}+18m +9 =9m^{2}+9$
$\Leftrightarrow m^{2}-18m = 0$ $\Leftrightarrow m(m-18)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=0& & \\ m-18=0& & L\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m=0& & \\ m = 18& & \end{matrix}\right.$
So sánh với điều kiện (1), ta chọn được m = 18
Vậy, với m = 18 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} – 2x_{2} = -1$