Hoạt động 5 trang 108 sgk Toán 11 tập 1 CD: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B$_{1}$ là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).
a) Nêu vị trí tương đối của $BB_{1}$ và $CC’; B_{1}B’$ và AA’.
b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{AB}{AB_{1}},\frac{BC}{B_{1}C'}$ và $\frac{CA}{C'A},\frac{AB_{1}}{A'B'},\frac{B_{1}C'}{B'C'}$ và $\frac{C'A}{C'A'}$
c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{AB}{A'B'},\frac{BC}{B'C'}$ và $\frac{CA}{C'A'}$
Bài Làm:
a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);
$B_{1} ∈ (ACC’)$ và $B_{1}$ ∈ (Q) nên $B_{1}$ là giao điểm của (ACC’) và (Q).
Do đó (ACC’) ∩ (Q) = $BB_{1}$.
Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.
Ta có: (Q) // (R);
(ACC’) ∩ (Q) = $BB_{1}$;
(ACC’) ∩ (R) = CC’.
Suy ra BB1 // CC’.
Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);
(AA’C’) ∩ (P) = AA’;
(AA’C’) ∩ (Q) = $B_{1}B’$.
Suy ra $B_{1}B’$ // AA’.
b) Trong mp(ACC’), xét ΔACC’ có: BB1 // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:
$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_{1}}{AC'}$, suy ra $\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{CA}{C'A}$
$\frac{BC}{AC}=\frac{B_{1}C'}{AC'}$, suy ra $\frac{BC}{B_{1}C'}=\frac{CA}{C'A}$
Do đó $\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C'}=\frac{CA}{C'A}$
Trong mặt phẳng (AA’C’), xét Δ AA’C’có: $B_{1}B’$ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:
$\frac{AB_{1}}{AC'}=\frac{A'B'}{A'C'}$, suy ra $\frac{AB_{1}}{A'B'}=\frac{C'A}{C'A'}$
$\frac{B_{1}C'}{AC'}=\frac{B'C'}{A'C'}$, suy ra $\frac{B_{1}C'}{B'C'}=\frac{C'A}{C'A'}$
Do đó $\frac{AB_{1}}{A'B'}=\frac{B_{1}C'}{B'C'}=\frac{C'A}{C'A'}$
c) Theo chứng minh ở câu b ta có:
$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_{1}}{AC'}$ và $\frac{AB_{1}}{AC'}=\frac{A'B'}{A'C'}$ nên $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}(=\frac{AB_{1}}{AC'}$)
Do đó $\frac{AB}{A'B'}=\frac{CA}{C'A'}$
$\frac{BC}{AC}=\frac{B_{1}C'}{AC'}$ và $\frac{B_{1}C'}{AC'}=\frac{B'C'}{A'C'}$ nên $\frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'}(=\frac{B_{1}C'}{AC'}$)
Do đó $\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$
Vậy $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$
