Bài tập 3 trang 109 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho tứ diện ABCD. Lấy $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
a) Chứng minh rằng $(G_{1}G_{2}G_{3})\parallel (BCD)$.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(G_{1}G_{2}G_{3})$ với mặt phẳng (ABD).
Bài Làm:
a) Gọi E, F, H là trung điểm của BC, CD, BD
Ta có: $G_{1} $ là trọng tâm $\triangle $ABC, suy ra $\frac{AG_{1} }{AE}=\frac{2}{3}$
$G_{3} $ là trọng tâm $\triangle $ABD, suy ra $\frac{AG_{3} }{AH}=\frac{2}{3}$
Suy ra $\triangle $AEH có $\frac{AG_{1} }{AE}=\frac{AG_{3} }{AH}$ nên $G_{1}G_{3}$ // EH
Mà EH thuộc (BCD) nên $G_{1}G_{3}$ // (BCD).
Tương tự ta có $G_{2}G_{3}$ // (BCD)
Do đó: $G_{1}G_{2}G_{3}$ // (BCD).
b) Ta có: $G_{1}G_{2}G_{3}$ // (BCD) nên $G_{1}G_{2}$ // BD
mà $G_{3}$ là điểm chung của hai mặt phẳng
Từ $G_{3}$ kẻ $G_{3}x$ sao cho $G_{3}x$ // BD.
Vậy $G_{3}x$ là giao tuyến cần tìm.
