Bài tập 4 trang 109 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng (AFD) $\parallel $ (BEC).
b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính $\frac{AN}{NC}$.
Bài Làm:
a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành)
Mà AD thuộc (AFĐ), BC thuộc (BEC)
Nên (AFD) // (BEC)
b) Trong (ABEF) kẻ đường thẳng d qua M // AF
Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)
Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD)
Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)
(1)(2) suy ra (IJH) trùng (P) và // (AFD)
Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD)
Suy ra: IH cắt AC tại N
Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ
Gọi O là trung điểm của AB
Có M là trọng tâm $\triangle $ABE
Suy ra: $\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}$
Ta có: AB // CD suy ra: AI // CH
Định lí Ta-lét: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{CH}$
mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)
Suy ra: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}$
Ta có: AB // EF nên OI // EJ
Do đó: $\frac{OI}{EJ}=\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}$
Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)
Suy ra: $\frac{OI}{IB}=\frac{1}{2}$ hay IB = 2OI
Ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{AO+OI}{2OI}$
Mà OA = OB (O là trung điểm AB)
Nên $\frac{AN}{NC}=\frac{OB+OI}{2OI}=2$
Do đó: $\frac{AN}{NC}=2$.
