Hoạt động 3 trang 50 Toán 11 tập 1 CD: Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số dạng đầu $u_{1}$, công sai d.
a) So sánh các tổng sau: $u_{1} + u_{n}; u_{2} + u_{n-1}; u_{3} + u_{n-2}; ...; u_{n} + u_{1}$.
b) Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n}$. So sánh $n(u_{n} + u_{1})$ với $2S_{n}$.
Bài Làm:
a) Ta có: $u_{1} + u_{n} = u_{1} + u_{1} + (n – 1)d = 2u_{1} + (n – 1)d$;
$u_{2} + u_{n-1} = u_{1} + d + u_{1} + (n – 1 – 1)d = 2u_{1} + (n – 1)d$;
$u_{3} + u_{n-2} = u_{1} + 2d + u_{1} + (n – 2 – 1)d = 2u_{1} + (n – 1)d$;
...
$u_{n} + u_{1} = u_{1} + (n – 1)d + u_{1} = 2u_{1} + (n – 1)d.$
Ta thấy $u_{1} + u_{n} = u_{2} + u_{n-1} = u_{3} + u_{n-2} = ... = u_{n} + u_{1}$.
b) Ta có: $2S_{n} = 2.(u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n}) = (u_{1} + u_{n}) + (u_{2} + u_{n-1}) + ... + (u_{n} + u_{1})$
= $2u_{1} + (n – 1)d + 2u_{1} + (n – 1)d + 2u_{1} + (n – 1)d + ... + 2u_{1} + (n – 1)d$
= $2n.u_{1} + n(n – 1)d$
= $n(u_{1} + u_{1} + (n – 1)d)$
= $n(u_{1} + u_{n}).$
