Câu 9: Trang 70 - sgk toán 9 tập 1
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng :
a. Tam giác DIL là một tam giác cân .
b. Tổng $\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB .
Bài Làm:
a.
Ta có : ABCD là hình vuông
=> $BC\perp CD$
=> $\widehat{DCL}=90^{\circ}$
Xét $\triangle ADI$ và $\triangle CDL$ , có :
- $\widehat{IAD}=\widehat{LCD}=90^{\circ}$
- AD = CD
- $\widehat{ADI}=\widehat{CDL}$ ( cùng phụ góc $\widehat{IDC}$ )
=> $\triangle ADI=\triangle CDL$ ( g-c-g )
=> DI = DL
=> $\triangle DIL$ là tam giác cân ( đpcm ).
b. Ta có :
- $\triangle DLK$ vuông tại D
- DC là đường cao
=> $\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}=\frac{1}{DC^{2}}$
Mà : DC không đổi => $\frac{1}{DL^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}$ không đổi
=> ( đpcm ).
