Câu 89: Trang 111 sgk toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm dối xứng với M qua D.
a) Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB.
b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao?
c) Cho BC = 4cm, tính chu vì tứ giác AEBM.
d) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?
Bài Làm:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) Do M là trung điểm của BC (gt) và D là trung điểm của AB (gt)
=> MD là đường trung bình của ΔABC do =>ó MD // AC
Mặt khác ta có : AC ⊥ AB (tam giác ABC vuông tại A)
=>MD ⊥ AB (1)
Do E đối xứng với M qua D => MD = DE (2)
Từ (1) và (2) => AB là đường trung trực của ME.
Vậy E đối xứng với M qua AB. (đpcm)
b) Ta có MD // AC (cmt) => ME // AC.
Ta lại có: DE = MD = $\frac{1}{2}AC$ => ME = AC
=> Tứ giác AEMC là hình bình hành (hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)
Xét tứ giác AEBM có D vừa là trung điểm của AB vừa là trung điểm của ME.
=>Tứ giác AEBM là hình bình hành (các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mặt khác AB ⊥ EM (cmt)
=>Hình bình hành AEBM là hình thoi.
c) Với BC = 4cm => BM= 2cm (do M là trung điểm của BC)
Do AEBM là hình thoi nên AM = MB = BE = AE = 4cm
=>Chu vi hình thoi AEBM bằng 4.BM = 4.2 = 8cm
d)Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ hình thoi AEBM có một góc vuông ⇔ AM ⊥ BM
⇔ AM là đường cao của tam giác ABC.
Mặt khác ta có ΔABC có trung tuyến AM.
AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao ⇔ ΔABC cân tại A
Vậy để AEBM là hình vuông khi ΔABC vuông có thêm điều kiện cân tại A.
