Câu 42: Trang 128 - sgk toán 9 tập 1
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng :
a. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b. ME.MO = MF.MO’ .
c. OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
d. BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Bài Làm:
a. Ta có : MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :
- MA = MB
- MO là tia phân giác góc AMB.
Xét ∆MAB cân tại M (MA = MB)
Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao .
=> $MO\perp AB=> \widehat{MEA}=90^{\circ}$
Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc AMC và góc $\widehat{MFA}=90^{\circ}$ .
Vì : MO, MO’ là tia phân giác của hai góc kẻ bù $\widehat{AMB},\widehat{AMC}$
=> $\widehat{EMF}=90^{\circ}$
Xét tứ giác AEMF có : $\widehat{EMF}=\widehat{MEA}=\widehat{MFA}=90^{\circ}$
=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật . ( đpcm )
b. Xét ∆MAO vuông tại A có : AE là đường cao
=>$MO.ME=MA^{2}$
Tương tự, ta có: $MO'.MF=MA^{2}$
=> $MO.ME=MO'.MF=MA^{2}$ ( đpcm )
c. Ta có MA = MB = MC nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA.
Mà $OO'\perp MA$ tại A.
=> OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC . ( đpcm )
d. Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (∆MOO’ vuông tại M)
Ta có : $OB\perp BC,O'C\perp BC=>OB//OC$
=> Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.
Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ => KM // OB
Mà $OB\perp BC=>KM \perp BC$ tại M
=> BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO' . ( đpcm )