Câu 41: Trang 128 - sgk toán 9 tập 1
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn : (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).
b. Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?
c. Chứng minh đẳng thức : AE.AB = AF.AC .
d. Chứng minh rằng : EF là tiếp tuyến chung của hai đường trong (I) và (K) .
e. Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Bài Làm:
a. Ta có :
- IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
- OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O).
- IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K) .
b. Tứ giác AEHF có : $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^{\circ}$
=> AEHF là hình chữ nhật .
c. Ta có :
- $\triangle AHB$ vuông => $AE.AB=AH^{2}$
- $\triangle AHC$ vuông => $AF.AC=AH^{2}$
=> AE.AB = AF.AC ( đpcm ).
d.
Gọi G là giao điểm của AH và EF.
Vì AHEF là hình chữ nhật => AH = EF .
=> GH = GF .
=> $\widehat{F_{1}}+\widehat{H_{1}}=90^{\circ}$
Xét $\triangle KHF$ có : $\widehat{F_{2}}+\widehat{H_{2}}=90^{\circ}$
=> $\widehat{F_{1}}+\widehat{H_{1}}=\widehat{F_{2}}+\widehat{H_{2}}=90^{\circ}$
=> EF là tiếp tuyến của đường tròn (K). ( đpcm )
Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (I). ( đpcm )
e. Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)
Để EF lớn nhất <=> AH = OA.
<=> $H\equiv O$ <=> dây AD đi qua O.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.