Bài 4: (3,5 điểm)
Trên đường tròn (O; R) đường kính AB lấy 2 điểm M, N theo thứ tự A, M, N, B ( hai điểm M, N khác 2 điểm A và B). Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại C, AN và BM cắt nhau tại D
a. Chứng minh tứ giác MCND nội tiếp. Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh rằng: BN.BC = BH.BAv
c. Tính ∠IMO
d. Cho biết ∠BAM = $45^{0}$; ∠BAN = $30^{0}$. Tính theo R diện tích của tam giác ABC
Bài Làm:
Hình vẽ:
a. Ta có:
∠AMB = $90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> ∠DMC = $90^{0}$
∠ANB = $90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> ∠DNC = $90^{0}$
Xét tứ giác MCND có:
∠DMC + ∠DNC = $90^{0}$ + $90^{0}$ = $180^{0}$
=> Tứ giác MCDN là tứ giác nội tiếp
Do ∠DMC = $90^{0}$ nên DC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN
Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm I của DC
b. Xét tam giác CAB có:
AN ⊥ BC
BM ⊥ AC
AN giao với BM tại H
=> H là trực tâm của tam giác CAB
=> CH ⊥ BA
Xét ΔCHB và ΔBNA có:
∠CBA là góc chung
∠CHB = ∠ANB = $90^{0}$
=>ΔCHB ∼ ΔANB
=>$\frac{BC}{BA}=\frac{BH}{BN}$=> BN.BC = BA.BH
c. Xét tam giác HDB vuông tại H có:
∠BDH + ∠DBH = $90^{0}$ (1)
Xét tam giác IDM cân tại I (ID = IM )
=> ∠IMD = ∠IDM
Mà ∠IDM = ∠BDH (đối đỉnh)
=> ∠IMD = ∠BDH (2)
Mặt khác tam giác OBM cân tại O ( OB = OM)
=> ∠OMB = ∠DBH (3)
Từ (1); (2) và (3)
=> ∠IMD + ∠OMB = ∠BDH + ∠DBH = $90^{0}$
=> ∠IMO = $90^{0}$
d. Xét tam giác BAN vuông tại N có:
∠NAB = $30^{0}$ => ∠NBA = $60^{0}$
Xét tam giác CHB vuông tại H có ∠NBA = $60^{0}$
=> $BH= CH.cot60^{0}=\frac{CH}{\sqrt{3}}$
Lại có: Tam giác CHA vuông tại H có ∠CAH = $45^{0}$
=> Tam giác CHA vuông cân tại H => CH = HA
Ta có:
$AB = HA + HB = CH +\frac{CH}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}CH$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}=2R\Rightarrow CH=R\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)$
Diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}CH.AB=\frac{1}{2}.R\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) (dvdt)$