Bài 2: (2,0 điểm)
Cho biểu thức
$P = \left ( \frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a +\sqrt{ab}+b}+\frac{2b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$
a. Tìm điều kiện đối với a và b để biểu thức P có nghĩa rồi rút gọn biểu thức P
b. Khi a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai $x^{2} – 3x + 1 = 0$. Không cần giải phương trình này, hãy chứng tỏ giá trị của P là một số nguyên dương
Bài Làm:
$P = \left ( \frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a +\sqrt{ab}+b}+\frac{2b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$
$=\left ( \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)}{a +\sqrt{ab}+b}+\frac{ab}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right ).\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$
$=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})+2b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$
$=\frac{a-b +ab}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$
b) a, b là 2 nghiệm của phương trình $x^{2} – 3x + 1 =0$ nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
$\left\{\begin{matrix}a +b = 3& & \\ ab = 1& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a +b = 3& & \\ \sqrt{ab}= 1& & \end{matrix}\right.$
Thay vào biểu thức
$P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{1}{3}=3$
Vậy giá trị của P là một số nguyên dương