Câu 21: Trang 68 - SGK Toán 8 tập 2
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết $AB = m,\,\ AC = n\,\ (n>m)$ và diện tích của tam giác ABC là S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm. Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC.
Bài Làm:
a) Ta có AD là đường phân giác của ∆ABC nên
\(\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \frac{AB}{AC} = \frac{m}{n}\) (áp dụng kết quả ở bài 16)
=> \(\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \frac{m}{n+m}\) (áp dụng tính chất tỉ lệ thức)
hay \(\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \frac{m}{n+m}=> S_{ABD}= \frac{m}{n+m}.S_{ABC}= \frac{m}{n+m}.S\).
Vì AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $S_{ABM}=\frac{1}{2}.S_{ABC}=\frac{1}{2}.S$
Vì $AB < AC$ do $m<n$ và AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ A nên AD nằm giữa AB và AM.
=> \(S_{ADM}= S_{ABM}- S_{ABD}\)
=> \(S_{ADM}= \frac{1}{2}.S - \frac{m}{n+m}.S = \frac{S(m+n-2m)}{2(m+n)}\)
=> \(S_{ADM}= \frac{S(n -m)}{2(m+n)}\) (với n>m)
b) Khi $n=7cm;\,\ m=3cm$ ta có:
$S_{ADM}=\frac{7-3}{2.(7+3)}.S=\frac{S}{5}=\frac{S}{5}$.100% =20%.S
Vậy diện tích tam giác ADM bằng 20% diện tích tam giác ABC.
