Câu 2: Trang 65 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là giao điểm của AM và DE.
a) Chứng minh $\Delta$ADM = $\Delta$MEA.
b) Chứng minh O là trung điểm của AM và DE.
c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?
Bài Làm:
a) Vì MD $\perp$ AB và AC $\perp$ AB (gt) nên MD // AC
$\Rightarrow$ $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (so le trong)
Xét $\Delta$ADM và $\Delta$MEA, có:
- $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (cmt)
- AM chung
- $\widehat{DAM}$ = $\widehat{MEA}$ (= 90$^{0}$)
$\Rightarrow$ $\Delta$AMD = $\Delta$MEA (g.c.g)
b) Vì $\Delta$AMD = $\Delta$MEA (cmt) $\Rightarrow$ DM = AE
Vì MD // AC (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{EDM}$ = $\widehat{DEA}$ (so le trong)
Xét $\Delta$DMO và $\Delta$EAO, có:
- $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (cmt)
- DM = EA (cmt)
- $\widehat{ODM}$ = $\widehat{OEA}$ (cmt)
$\Rightarrow$ $\Delta$DMO = $\Delta$EAO (g.c.g)
$\Rightarrow$ OM = OA $\Rightarrow$ O là trung điểm AM
$\Rightarrow$ OD = OE $\Rightarrow$ O là trung điểm DE
c) Kẻ AH vuông góc với BC
Trường hợp M trùng H $\Rightarrow$ AM = AH (1)
Trường hợp M không trùng H
Xét tam giác AHM vuông tại H (AH vuông góc với BC)
$\Rightarrow$ AM > AH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM $\geqslant$ AH
Như vậy AM có độ dài nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.