Câu 2: Trang 127 sách toán VNEN lớp 7 tập 1
Trên hình 90, ta có OA = OB, $\widehat{OAC} = \widehat{OBD}$. Chứng minh:
a) $\widehat{ODB} = \widehat{OCA}$;
b) ID = IC;
c) OI là tia phân giác của góc DOC và OI $\perp $ CD.
Bài Làm:
a) Xét $\bigtriangleup ODB$ và $\bigtriangleup OCA$ có:
OB = OA (theo giả thiết);
$\widehat{OAC} = \widehat{OBD}$ (theo giả thiết);
$\widehat{O}$ chung;
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup ODB = \bigtriangleup OCA$; (g.c.g)
Suy ra: $\widehat{ODB} = \widehat{OCA}$ (hai góc tương ứng).
b) Theo câu a) OD = OC (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow $ AD = BC (hiệu của các cặp đoạn thẳng có cùng độ dài).
Xét $\bigtriangleup IAD$ và $\bigtriangleup IBC$ có:
AD = BC (chứng minh trên);
$\widehat{ODB} = \widehat{OCA}$ (theo câu a);
$\widehat{IAD} = \widehat{IBC}$;
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup IAD = \bigtriangleup IBC$; (c.g.c)
Suy ra: ID = IC (hai cạnh tương ứng).
c)
- Chứng minh OI là tia phân giác góc DOC:
Dễ thấy $\bigtriangleup OAI = \bigtriangleup OBI$ do có: OA = OB; OI chung; AI = BI ( do AI = AC – IC; IB = BD – ID mà ID = IC; AC = BD)
Suy ra: $\widehat{AOI} = \widehat{IOB}$ (hai góc tương ứng bằng nhau) hay OI là tia phân giác góc DOC.
- Chứng minh: OI $\perp $ CD
+ Gọi H là giao điểm của OI với CD (hình vẽ)
Xét $\bigtriangleup ODH$ và $\bigtriangleup OCH$ có:
OD = OC (hai cạnh tương ứng, theo câu a);
$\widehat{ODB} = \widehat{OCA}$ (theo câu a);
$\widehat{AOI} = \widehat{IOB}$ (cmt);
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup OHD = \bigtriangleup OHC$; (c.g.c)
$\Rightarrow $ $\widehat{DHO} = \widehat{CHO}$
Mà hai góc DHO và CHO là hai góc kề bù nên: $\widehat{DHO} = \widehat{CHO} = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$.
Hay OI $\perp $ CD (đpcm).