Bài tập 9 trang 121 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C'D'.
a) Chứng minh rằng (A'DN) $\parallel $ (B'CM).
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D'B với các mặt phẳng (A'DN), (B'CM). Chứng minh rằng D'E = BF = $\frac{1}{2}$EF.
Bài Làm:
a) Hình bình hành CDA'B' có: A'D // B'C
Mà B'C thuộc (B'CM)
Suy ra: A'D // (B'CM) (1)
Gọi P là trung điểm của A'B'
Dễ dàng chứng minh được AMB'P là hình bình hành
Do đó: B'M // AP
Ta có: PN // A'D' mà A'D' // AD nên PN // AD
PN = A'D' mà A'D' = AD nên PN = AD
Do đó: PADN là hình bình hành
Suy ra: AP // DN
Do đó: B'M // DN mà B'M thuộc (B'CM)
Suy ra: DN // (B'CM) (2)
(1)(2) suy ra (A'DN) // (B'CM)
b) Ta có: A'N cắt D'B' tại K
Có: DK cắt D'B
Mà DK thuộc (A'DN)
D'B cắt (A'DN) tại E
Do đó: DK cắt D'B tại E
Ta có: $\triangle $A'KB' đồng dạng với $\triangle $NKD' (do A'B' // D'N)
Suy ra: $\frac{D'K}{B'K}=\frac{D'N}{A'B'}=\frac{1}{2}$
Do đó: $\frac{D'K}{D'B'}=\frac{1}{3}$ mà D'B' = DB
Nên: $\frac{D'K}{DB}=\frac{1}{3}$
Có: $\triangle $EDB đồng dạng với $\triangle $EKD' (do DB // D'K)
Suy ra: $\frac{D'K}{DB}=\frac{D'E}{EB}=\frac{1}{3}$
Nên: $D'E=\frac{1}{3}EB$ hay $D'E=\frac{1}{4}D'B$
Chứng minh tương tự ta được: $BF=\frac{1}{4}D'B$
Do đó: D'E = BF = $\frac{1}{2}$EF.
