Bài tập 8 trang 121 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Lấy M, M' lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B'C'; lấy các điểm G, G', K lần lượt thuộc các đoạn AM, A'M', A'B sao cho $\frac{AG}{AM}=\frac{A'G'}{A'M'}=\frac{A'K}{A'B}=\frac{2}{3}$.
a) Chứng minh rằng C'M $\parallel $ (A'BM').
b) Chứng minh rằng G'K $\parallel $ (BCC'B').
c) Chứng minh rằng (GG'K) $\parallel $ (BCC'B').
d) Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng ($\alpha$) cắt cạnh CC' tại điểm I. Tính $\frac{IC}{IC'}$.
Bài Làm:
a) Ta có: MBM'C' là hình bình hành nên C'M // BM'
Mà BM' thuộc (A'BM')
Suy ra: C'M // (A'BM')
b) $\triangle $A'BM' có: $\frac{A'K}{A'B}=\frac{A'G'}{A'M'}=\frac{2}{3}$
Nên G'K // BM' mà BM' thuộc (BCC'B')
Suy ra: G'K // (BCC'B')
c) Hình bình hành AMM'A' có: GG' // MM'
Mà MM' thuộc (BCC'B')
Suy ra: GG' // (BCC'B')
Mà G'K // (BCC'B')
Do đó: (GG'K) // (BCC'B')
d) Từ K kẻ đường thẳng d cắt AA' tại E, cắt BB' tại F
Do $(\alpha )$ // (ABC)
Nên từ E kẻ đường thẳng // AC
Từ F kẻ đường thẳng // BC
Do đó: hai đường thẳng này cắt nhau tại I
Hình bình hành ACC'A' có: EI // AC // A'C'
Suy ra: $\frac{IC}{IC'}=\frac{AE}{AE'}$ (1)
$\triangle $A'BA có: EK // AB
Suy ra: $\frac{A'K}{A'B}=\frac{A'E}{AA'}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{AE}{A'E}=\frac{1}{2}$ (2)
(1)(2) suy ra: $\frac{IC}{IC'}=\frac{1}{2}$
