Bài tập 7 trang 121 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB$\parallel $CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:
a) MN $\parallel $ (SCD);
b) DM $\parallel $ (SBC);
c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho $\frac{SI}{SD}=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng: SB $\parallel $ (AIC).
Bài Làm:
a) $\triangle $SAB có: M, N là trung điểm của SA, SB nên MN // AB
Mà AB // CD
Suy ra MN // CD mà CD thuộc (SCD)
Do đó: MN // (SCD)
b) Ta có: MN = $\frac{1}{2}$ AB
Mà CD = $\frac{1}{2}$ AB
Suy ra: MN = CD mà MN // CD
Nên MNCD là hình bình hành. Do đó MD // CN
Mà CN thuộc (SBC)
Suy ra: DM // (SBC).
c) Gọi G là giao điểm của DM và AI; H là trung điểm của AB; O là giao điểm của AC và DH
Ta có: AHCD là hình bình hành vì AH // CD, AH = CD
Do đó: O là trung điểm của AC và DH
Ta chứng minh được G là trung điểm của DM
$\triangle $DMH có: G, O là trung điểm của DM, DH
Suy ra: GO // MH
Mà MH // SB (M, H là trung điểm của SA, AB)
Do đó: GO // SB mà GO thuộc (AIC) nên SB // (AIC).
