Bài tập 5 trang 79 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều: Cho hàm số
$f(x)=\begin{cases}2x+a& (x< 2)\\ 4& (x=2)\\-3x+b& (x> 2) \end{cases} $
a) Với $a=0, b=1$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$.
b) Với giá trị nào của $a, b$ thì hàm số liên tục tại $x=2$?
c) Với giá trị nào của $a, b$ thì hàm số liên tục trên tập xác định?
Bài Làm:
a) Ta có: a=0, b=1 thì $f(x)=\begin{cases}2x& (x< 2)\\ 4& (x=2)\\-3x+1& (x> 2) \end{cases} $
Có: $f(2)=4$
$\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=2.2=4$
$\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=-3.2+1=-5$
Do đó: $\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2)$
Vậy hàm số không liên tục tại $x=2$.
b) Ta có: $f(2)=4$
$\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=4+a$
$\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=-6+b$
Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì: $4+a=-6+b=4\Leftrightarrow a=0; b=10$.
Vậy $a=10; b=0$ thì hàm số liên tục tại $x=2$.
c) TXĐ: $\mathbb{R}$
Do $f(x)=2x+a$ nếu $x< 2$ nên hàm số liên tục trên khoảng $(-\infty,2)$.
Do $f(x)=-3x+b$ nếu $x> 2$ nên hàm số liên tục trên khoảng $(2,+\infty)$.
Nếu $a=0; b=10$ thì hàm số liên tại điểm $x=2$.
Do đó khi $a=0; b=10$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
