Bài 5 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:
a) Chứng minh rằng BC // (SAD) và tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).
b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài Làm:
a) ABCD là hình vuông => BC // AD
mà $AD \subset (SAD)$
=> $BC // (SAD) => d(BC,(SAD))=d(B, (SAD))$
$SA\perp (ABCD) => SA\perp AB$
ABCD là hình vuông
=> $AB\perp AD => AB\perp (SAD) => d(B, (SAD))=AB=a$
b) ABCD là hình vuông => $BD \perp AC$
$SA\perp (ABCD) => SA\perp BD$
=>$ BD \perp (SAC)$
Gọi $O=AC\cap BD, kẻ OH\perp SC$
Có $BD \perp (SAC) => BD \perp OH$
=> d(BD, SC)=OH
Có tam giác ABC vuông tại B
=> $AC=a\sqrt{2}$
=> $OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Có $SA\perp (ABCD) => SA\perp AC$
=> Tam giác SAC vuông tại A
=> $SC=a\sqrt{3}$
Có $\Delta SAC\sim \Delta OHC$ (g.g)
=> $\frac{SA}{OH}=\frac{SC}{OC}$
=> $OH=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
