I. KHÁI NIỆM LÔGARIT
1. Định nghĩa
HĐ1
a) $3^{x}=9 => x=2$
$3^{x}=\frac{1}{9} => x=-2$
b) Có một số thực x duy nhất sao cho: $3^{x}=5$
Định nghĩa: Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để $a^{c}=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là $log_{a}b$, nghĩa là
$c=log_{a}b\Leftrightarrow a^{c}=b$
$log_{a}b$ xác định khi và chỉ khi a > 0, a ≠ 1 và b > 0.
Ví dụ 1: (SGK – tr.34)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.34)
Luyện tập 1
a) $log_{3}81=4$
b) $log_{10}\frac{1}{100}=-2$
2. Tính chất
HĐ2
a) $log_{a}1=0$
b) $log_{a}a=1$
c) $log_{a}a^{c}=c$
d) $a^{log_{a}b}=b$
Tính chất: Với số thực dương a khác 1, số thực dương b và số thực c, ta có:
log$_{a}$1 = 0; log$_{a}$a = 1; log$_{a}a^{c}$ = c; $a^{log_{a}b}=b$
Ví dụ 2: (SGK – tr.35)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)
Luyện tập 2
a) $log_{4}\sqrt[5]{16}=log_{4}(4^{2})^{\frac{1}{5}}=log_{4}4^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5}$
b) $36^{log_{6}8}=6^{log_{6}8}.6^{log_{6}8}=8.8=64$
3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên
Khái niệm
- Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là logb hay lgb .
- Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là lnb .
Ví dụ 3: (SGK – tr.35)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.35)
Luyện tập 3
Độ pH của cốc nước cam là: $-log_{}10^{-4}=4$
Độ pH của cốc nước dừa là: $-log_{}10^{-5}=5$
II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH LÔGARIT
1. Lôgarit của một tích, một thương
HĐ3
a) $log_{2}mn=10$
$log_{2}m+log_{2}n=10$
=> Hai kết quả bằng nhau
b) $log_{2}\frac{m}{n}=4$
$log_{2}m-log_{2}n=4$
=> Hai kết quả bằng nhau
Công thức: Với ba số thực dương a, m, n và a ≠ 1, ta có:
- $log_{a}(mn)=log_{a}m+log_{a}n$;
- $log_{a}(\frac{m}{n})=log_{a}m-log_{a}n$.
- $log_{a}\left (\frac{1}{b} \right )=-log_{a}b$ (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
Ví dụ 4: (SGK – tr.36)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)
Chú ý:
Với n số tực dương b1, b2, …, bn:
$log_{a}(b_{1}b_{2}...b_{n})=log_{a}b_{1}+log_{a}b_{2}+...+log_{a}b_{n}$ (a > 0, a ≠ 1)
Luyện tập 4
a) $ln(\sqrt{5}+2)+ln(\sqrt{5}-2)$
$=ln ((\sqrt{5}+2).(\sqrt{5}-2))$
$=ln(5-4)=ln1=0$
b) $log400-log4=log\left ( \frac{400}{4} \right )=log100=2$
c) $log_{4}8+log_{4}12+log_{4}\frac{32}{3}$
$=log_{4}\left ( 8\cdot 12\cdot \frac{32}{3} \right )$
$=log_{4}1024=5$
2. Lôgarit của một lũy thừa
HĐ4
a) Tính $a^{log_{a}b^{\alpha }}=b^{\alpha }$
$a^{\alpha log_{a}b}=b^{\alpha}$
b) $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$
Ghi nhớ: Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số thực α, ta có: $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$
Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có: $log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}log_{a}b$
Ví dụ 5: (SGK – tr.36)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.36)
Luyện tập 5
$2log_{3}5-log_{3}50+\frac{1}{2}log_{3}36$
$=log_{3}5^{2}-log_{3}50+log_{3}6$
$=log_{3}\frac{1}{2}+log_{3}6=log_{3}3=1$
3. Đổi cơ số của lôgarit
HĐ5
a) $log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $
<=> $a^{log_{c}b}=a^{log_{a}b.log_{c}a }$
<=> $c^{log_{c}b}=(c^{log_{c}a})^{log_{a}b}$
<=> $b=a^{log_{a}b}$
<=> $b=b$ (luôn đúng)
b) Từ$ log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $
<=> $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$
Ghi nhớ: Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có:
$log_{b}c=\frac{log_{a}c}{log_{a}b}$
Nhận xét: Với a > 0 và a ≠ 1, b > 0 và b ≠ 1, c > 0, α ≠ 0, ta có những công thức sau:
- $log_{a}b.log_{b}c=log_{a}c$
- $log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}$
- $log_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }log_{a}b$
Ví dụ 6: (SGK – tr.37)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.37)
Luyện tập 6
$5^{log_{125}64}=5^{log_{5}64^{\frac{1}{3}}}=64^{\frac{1}{3}}=4$
III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH LÔGARIT
Chú ý: Với máy tính không có phím log thì để tính $log_{5}3$, ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.
Ví dụ 6: (SGK – tr.38)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.38)
Luyện tập 7
$log_{7}19≈1,5$
$log_{11}26≈1,3$