I. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ
1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
HĐ1
a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
b) Với a ≠ 0 thì a$_{0}$ = 1
Định nghĩa
Cho số thực a khác 0 và số nguyên dương n. Ta đặt $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$.
Ta đã xác định được a$^{m}$, ở đó a là số thực tùy ý khác 0 và m là một số nguyên. Trong biểu thức a$^{m}$, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.
Chú ý:
- 0$^{n}$ và 0$^{-n}$ (n nguyên dương) không có nghĩa.
- Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Ví dụ 1: (SGK – tr.28)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.28)
Luyện tập 1
$M=\left ( \frac{1}{3} \right )^{12}\cdot \left ( \frac{1}{27} \right )^{-5}+(0,4)^{-4}.25^{-2}\cdot \left ( \frac{1}{32} \right )^{-1}$
$=\frac{3^{15}}{3^{12}}+\frac{5^{4}}{2^{4}.5^{4}}\cdot 32$
$=3^{3}+\frac{32}{2^{4}}=29$
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa
HĐ2
a) Căn bậc hai của một số thực √a không âm, kí hiệu là a là số x sao cho x$^{2}$ = a.
b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là ∛a là số x sao cho x$^{3}$ = a.
Định nghĩa: Cho số thực a và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số thực b được gọi là căn bậc n của số a nếu b$^{n}$ = a.
Ví dụ 2: (SGK – tr.28)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.28)
Luyện tập 2
Các số 2 và -2 là căn bậc 6 của 64, vì: $2^{6}=(-2)^{6}=64$
Nhận xét
Với n lẻ và a ∈ R: Có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$
Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau:
- a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a.
- a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0.
- a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{a}$, còn giá trị âm là -$\sqrt[n]{a}$.
b) Tính chất
HĐ3
a)$\sqrt{a^{2}}$ = $\left | a \right |$
$\sqrt[3]{a^{3}}=a$
b) $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$
Tính chất
- $\sqrt[n]{a^{n}}$ = a nếu n lẻ
|a| nếu n chẵn
- $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}$
- $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
- $\left (\sqrt[n]{a} \right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$
- $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$
(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa).
Ví dụ 3: (SGK – tr.29)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.29)
Luyện tập 3
a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}$
$=\sqrt[3]{\left ( \frac{5}{4} \right )^{3}}\cdot \sqrt[4]{(3)^{4}}$
$=\frac{5}{4}\cdot3=\frac{15}{4}$
b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}$
$=\frac{\sqrt[5]{33614}}{\sqrt[5]{64}}$
$=\frac{\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{7^{5}}}{\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{2^{5}}}=\frac{7}{2}$
3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ
HĐ4
a) $2^{\frac{6}{3}}=2^{2}$
b) $2^{\frac{6}{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}$
Định nghĩa: Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = $\frac{m}{n}$, trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2. Lũy thừa của a với số mũ r được xác định bởi: $a^{r}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
Nhận xét
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ (a > 0, n ∈ N, n ≥ 2).
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.
Ví dụ 4: (SGK – tr.30)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.30
Luyện tập 4
$N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$
Với x > 0, y > 0
$N=\frac{\sqrt[3]{x^{4}}y+x\sqrt[3]{y^{4}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$
$N=\frac{xy(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$
$N=xy$
II. PHÉP TÍNH LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
1. Định nghĩa
HĐ5
Từ bảng 1 ta dự đoán được: $3^{\sqrt{2}}$ ≈ 4,72
Định nghĩa: Cho là số thực dương, là số vô tỉ, $r_{n}$ là dãy số hữu tỉ và $r_{n}$ = α. Giới hạn của dãy số ($a^{r_{n}}$) gọi là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu $a^{\alpha }$, $a^{\alpha }=a^{r_{n}}$ .
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: $1^{\alpha }$ = 1, ∀α ∈ R
Ví dụ 5: (SGK – tr.31)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.31)
Luyện tập 5
Từ Ví dụ 5 ta đã có: $10^{\sqrt{2}}$ ≈ 25,95. Do đó $10^{\sqrt{2}}$ > 10
2. Tính chất
HĐ6
$a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\left ( \frac{a}{b} \right )^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$
Tính chất
Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
$a^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\left ( \frac{a}{b} \right )^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }};\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$
- Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ <=> α > β.
- Nếu 0 < a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ <=> α < β.
Ví dụ 6: (SGK – tr.32)
Hướng dẫn giải (SGK – tr32)
Ví dụ 7: (SGK – tr.32)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.32)
Luyện tập 6
Có $2\sqrt{3}$ < $3\sqrt{2}$
=> $2^{2\sqrt{3}}$ < $2^{3\sqrt{2}}$
3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực.
Ví dụ 8: (SGK – tr.32)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.32)
Ví dụ 9: (SGK – tr.32)
Hướng dẫn giải (SGk – tr.33)