I. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa
HĐ1
a) Số tiền doanh nghiệp đó có được:
- Sau 1 năm: 1 000 000 000 + 1 000 000 000 . 6,2% = 1 062 000 000 (đồng)
- Sau 2 năm: 1 062 000 000 + 1 062 000 000 . 6,2% = 1 127 844 000 (đồng)
- Sau 3 năm: 1 127 844 000 + 1 127 844 000 . 6,2% = 1 197 770 328
b) Dự đoán công thức:
A = 1 000 000 000 . (1 + 6,2%)$^{n}$
Nhận xét: Tương ứng mỗi giá trị x với giá trị y = 1,062$^{x}$ xác định một hàm số, hàm số đó gọi là hàm số mũ cơ số 1,062.
Định nghĩa: Cho số thực a (a > 0, a ≠ 1). Hàm số y = a$^{x}$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Tập xác định của hàm số mũ y = a$^{x}$ (a > 0, a ≠ 1) là R.
Ví dụ 1: (SGK – tr.39)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.39)
Luyện tập 1
y = $0,5^{x}$; y = $(3\sqrt{3})^{x}$
2. Đồ thị và tính chất
HĐ2
a)
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
$\frac{1}{2}$ |
1 |
2 |
4 |
8 |
b)
c) Tọa độ giao điểm của đồ thị y = 2$^{x}$ với trục tung là 0;1; Đồ thị không cắt trục hoành.
d) 2$^{x}$ = +∞ ; 2$^{x}$ =0
Hàm số y = 2$^{x}$ đồng biến trên R.
|
x |
-∞ +∞ |
|
y |
+∞ 0 |
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = 2$^{x}$ là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi lên từ trái sang phải.
HĐ3
a)
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
y |
8 |
4 |
2 |
1 |
$\frac{1}{2}$ |
b)
c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ với trục tung là (0; 1)
Đồ thị hàm số y = $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ không cắt trục hoành.
d) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ = 0; $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ = +∞
Hàm số y = $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ nghịch biến trên R.
|
x |
-∞ +∞ |
|
y |
|
Nhận xét
Đồ thị hàm số y = $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi xuông kẻ từ trái sang phải.
|
|
|
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = a$^{x}$ (a > 0, a ≠ 1) là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi lên nếu a > 1, đi xuông nếu 0 < a < 1.
|
y = a$^{x}$ (a>1) |
||||
|
Tập xác định: R; tập giá trị: 0; +∞ Tính liên tục: Hàm số y = a$^{x}$ a>1 là hàm số liên tục trên R. Giới hạn đặc biệt: a$^{x}$ =0 ; a$^{x}$ = +∞ Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên R. Bảng biến thiên:
|
|
y = a$^{x}$ (0 < a < 1) |
||||
|
Tập xác định: R; tập giá trị: 0; +∞ Tính liên tục: Hàm số y=a$^{x}$ 0<a<1 là hàm số liên tục trên R. Giới hạn đặc biệt: a$^{x}$ =+∞ ;ax =0 Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên:
|
Chú ý:
Với mỗi N > 0, tồn tại duy nhất số sao cho a$^{\alpha }$ = N.
Ví dụ 2: (SGK – tr.42)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.42)
Luyện tập 2
- Hàm số $\left ( \frac{1}{3} \right )^{x}$ là hàm số nghịch biến trên R.
- Vì hàm số $\left ( \frac{1}{3} \right )^{x}$ có cơ số 0 < $\frac{1}{3}$ < 1 nên ta có bảng biến thiên sau:
|
x |
-∞ 0 +∞ |
|
y |
|
Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-2; 9), B(-1; 3), C(0; 1), D(1; 1/3)
Ví dụ 3: (SGK – tr.42)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.42)
II. HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa
HĐ4
|
x |
1 |
3 |
9 |
27 |
|
y = log$_{3}$x |
0 |
1 |
2 |
3 |
Nhận xét: Tương ứng mỗi giá trị x dương với giá trị y = log$_{a}$x xác định một hàm số, hàm số đó gọi là hàm số lôgarit cơ số 3.
Định nghĩa; Cho số thực a (a > 0, a ≠ 1). Hàm số y = log$_{a}$x được gọi là hàm số loogarit cơ số a.
Tập xác định của hàm số lôgarit y = log$_{a}$x (a > 0, a ≠ 1) là (0; +∞).
Ví dụ 4: (SGK – tr. 43)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.42)
Luyện tập 3
(1) $y=log_{4}x$
(2)$y=log(x+1)$
2. Đồ thị và tính chất
HĐ5
a)
|
x |
0,5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
y |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
b)
c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = log$_{2}$x với trục hoành là (1; 0)
Đồ thị hàm số đó không cắt trục tung.
d) $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} log_{2}x=-\infty, \lim_{x \rightarrow +\infty } log_{2}x=+\infty$
Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = log$_{2}$x là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên kể từ trái sang phải.
HĐ6
a)
|
x |
0,5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
y |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
b)
c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x với trục hoành là (1; 0)
+ Đồ thị hàm số không cắt trục tung.
d) x = 0 ; x = -∞
Hàm số y = x nghịch biến trên (0;+∞).
Bảng biến thiên
Nhận xét: Đồ thị hàm số x là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm phía bên phải tục tung và đi xuống kể từ trái sang phải.
Ghi nhớ; Đồ thị hàm số y = x (a > 0, a ≠ 1) là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên nếu a > 1, đi xuống nếu 0 < a < 1.
|
|
|
Nhận xét: Cho hàm số lôgarit y = x với a > 0, a ≠ 1.
|
y = x với a > 1 |
||||
|
+ Tập xác định: (0; +∞); tập giá trị: R + Tính liên tục: Hàm số y=x (a>1) là hàm số liên tục trên khoảng (0;+∞) + Giới hạn đặc biệt: x = -∞ ; x = +∞ + Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên (0; +∞). + Bảng biến thiên
|
|
y= x với 0 < a < 1 |
||||
|
+ Tập xác định: (0;+∞); tập giá trị: R + Tính liên tục: Hàm số y = x (0 < a < 1) là hàm số liên tục trên khoảng (0;+∞). + Giới hạn đặc biệt: x = +∞ ; x =-∞ + Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên (0;+∞) + Bảng biến thiên
|
Ví dụ 5: (SGK – tr46)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.46)
Luyện tập 4
Vì hàm số y = x có cơ số 0 < $\frac{1}{3}$ < 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{3}}x$ là đường cong đi qua các điểm A(1;0), B(3; -1), C(9;-2), D($\frac{1}{3}$; 1)
Ví dụ 6: (SGK – tr.46)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.46)