I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Phương trình mũ
HĐ1
a) Có S = 2A
$2A=A.e^{0,0114.t}$
$=>2=e^{0,0114.t}$
$=> ln2=0,0114.t$
b) Ẩn trong phương trình trên là t, nằm trong lũy thừa của số e, tức là $e^{0,0114.t}$.
Khái niệm: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
Ví dụ 1: (SGK – tr.48)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.48)
Luyện tập 1
(1) $4^{2x+1}=16$
(2 )$6^{2x+3}=6^{x}$
HĐ2
a) Ta có bảng sau:
|
x |
0 |
1 |
2 |
-1 |
|
$y = 3^{x}$ |
1 |
3 |
9 |
$\frac{1}{3}$ |
Đường thẳng y = 7 đi qua điểm (0; 7) và song song với Ox.
b) Hai đồ thị $y = 3^{x}$ và $y = 7$ có 1 giao điểm. Vậy số nghiệm của phương trình này là 1
Ghi nhớ: Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng a$^{x}$ = b (a > 0, a ≠ 1)
- Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = b .
Nhận xét: Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 thì $a^{f(x)}$ = b <=> f(x) = b .
Ví dụ 2: (SGK – tr.49)
Hướng dẫn giải (SGK)
Ví dụ 3: (SGK – tr.49)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.49)
Chú ý:
Với a > 0, a ≠ 1 thì: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$
Ví dụ 4: (SGK – tr.49)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.49)
Luyện tập 2
a) $9^{16-x}=27^{x+4}$
$<=> 3^{2(16-x)}=3^{3(x+4)}$
$<=> 2(16-x)=3(x+4)$
$<=>x=4$
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
b) $16^{x-2}=0,25.2^{-x+4}$
$<=>2^{4(x-2)}=2^{-2}.2^{-x+4}$
$<=> 4(x-2)=2-x$
$<=> x=2$
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2
2. Phương trình lôgarit
HĐ3
a) Có $pH=-log[H^{+}]$ => $[H^{+}] = 10^{-pH}$
Thay giá trị pH = 6,1 vào phương trình trên, ta có: $[H^{+}] = 10^{-6,1}$
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là x và nằm ở vị trí hệ số của lôgarit.
Khái niệm: Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
Ví dụ 5: (SGK – tr.50)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)
Luyện tập 3
$log_{4}(2x-1)=16$
$log_{5}(3x-1)=25$
HĐ4
a) Vì hàm số x có cơ số 4 > 1
- Đồ thị hàm số y = x đi qua các điểm $A\left ( \frac{1}{4};-1 \right );B(1;0);C(4;1);D\left ( 8;\frac{3}{2} \right )$.
- Đường thẳng y = 5 đi qua điểm (0; 5) và song song với trục Ox.
Minh họa:
b) Đồ thị hàm số y = x và đường thẳng y = 5 cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất.
=> Phương trình x = 5 có 1 nghiệm duy nhất.
Ghi nhớ:
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng x = b (a > 0, a ≠ 1)
Phương tình đó có nghiệm duy nhất là x = a$^{b}$
Chú ý: Với a > 0, a ≠ 1 thì f(x) = b <=> f(x) = a$^{b}$.
Ví dụ 6: (SGK – tr.50)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)
Ví dụ 7: (SGK – tr.50)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.50)
Chú ý
Cho a > 0, a ≠ 1. Ta có: f(x) = g(x)
<=> f(x) > 0 và f(x) = g(x)
Ví dụ 8: (SGK – tr.51)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.51)
Luyện tập 4
a) $log_{5}(2x-4)+log_{\frac{1}{5}}(x-1)=0$
ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}2x-4>0\\ x-1>0\end{matrix}\right.$
$=> x>2$
$<=> log_{5}(2x-4)+log_{5^{-1}}(x-1)=0$
$<=> log_{5}(2x-4)=log_{5}(x-1)$
$<=> 2x-4=x-1$
$<=> x=3$
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3
b) $log_{2}x+log_{4}x=3$
ĐKXĐ: $x>0$
$<=> log_{2}x+log_{2}x^{\frac{1}{2}}=3$
$<=> log_{2}(x.x^{\frac{1}{2}})=3$
$<=> log_{2}(x^{\frac{3}{2}})=log_{2}8$
$<=> x^{\frac{3}{2}}=8$
$<=> x=4$
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Bất phương trình mũ
HĐ5
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >2$
<=>$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >\left ( \frac{1}{2} \right )^{-1} $
$<=> x<-1$
Khái niệm
- Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
- Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình mũ có một trong các dạng sau:
a$^{x}$ > b; a$^{x}$<b; a$^{x}$ ≥ b; a$^{x}$ ≤ b (a > 0, a ≠ 1)
Ví dụ 9: (SGK – tr.51)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.51)
Luyện tập 5
$2^{x}>5$; $3^{x}<12$
Cách giải bất phương trình mũ
Xét bất phương trình mũ: a$^{x}$ > b (a > 0, a ≠ 1)
Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R (vì a$^{x}$ > 0 ≥ b, ∀x ∈ R).
Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a$^{x}$ > a$^{b}$
- Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > b
- Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < b .
Chú ý:
- Với a > 1 thì a$^{x}$ > a$^{\alpha }$ <=> x > α
- Với 0 < a < 1 thì a$^{x}$ > a$^{\alpha }$ <=> a < α
Ví dụ 10: (SGK – tr.52)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.52)
Luyện tập 6
a) $7^{x+3}<343$
$<=> 7^{x+3}<7^{3}$
$<=> x+3<3$
$<=> x<0$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-∞; 0).
b) $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\geq 3$
$<=> x\leq log_{\frac{1}{4}}3$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞;3 ].
Ví dụ 11: (SGK – tr.52)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)
2. Bất phương trình lôgarit
HĐ6
Hàm số y = x đồng biến trên tập xác định.
Quan sát đồ thị ta thấy, để x > 1 thì x > 2.
Ví dụ 12: (SGK – tr.53)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)
Luyện tập 7
$log_{2}x>4$; $log_{4}(x+1)>16$
Cách giải bất phương trình lôgarit
Xét bất phương trình x > b, (a > 0, a ≠ 1)
Bất phương trình tương đương với x > a$^{b}$
- Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > a$^{b}$
- Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a$^{b}$.
Chú ý:
- Với a > 1 thì x > α <=> x > α
- Với 0 < a < 1 thì x > α <=> x < α
Ví dụ 13: (SGk – tr.54)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)
Luyện tập 8
a) $log_{3}x<2$
$<=>0<x<3^{2}$
$<=>0<x<3^{2}$=9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 9).
b) $log_{\frac{1}{4}}(x-5)\geq -2$
$<=> o<x-5\leq 6$
$<=> 5<x\leq 21$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 21]
Ví dụ 14: (SGK – tr.54)
Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)