4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{\left ( 1^{4}+\frac{1}{4} \right )\left ( 3^{4}+\frac{1}{4} \right )...\left ( 99^{4}+\frac{1}{4} \right )}{(2^{4}+\frac{1}{4})\left ( 4^{4}+\frac{1}{4}\right )...\left ( 100^{4}+\frac{1}{4} \right ) }$
Câu 2: Với a,b,c,d dương, chứng minh rằng $F=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$
Bài Làm:
Câu 1:
Với mọi số tự nhiên n, ta có:
$n^{4}+\frac{1}{4}=(n^{4}+n^{2}+\frac{1}{4})-n^{2}$
$=\left ( n^{2}+\frac{1}{2} \right )^{2}-n^{2}$
$=\left ( n^{2}-n+\frac{1}{2} \right )\left ( n^{2}+n+\frac{1}{2} \right )$
$=\left ( (n-1)n+\frac{1}{2} \right )\left ( n(n+1)+\frac{1}{2} \right ) (*)$
Áp dụng (*) với n lần lượt bằng 1, 3, 5, …, ta có
$A=\frac{\left ( 1^{4}+\frac{1}{4} \right )\left ( 3^{4}+\frac{1}{4} \right )...\left ( 99^{4}+\frac{1}{4} \right )}{(2^{4}+\frac{1}{4})\left ( 4^{4}+\frac{1}{4}\right )...\left ( 100^{4}+\frac{1}{4} \right ) }$
$=\frac{(0.1+\frac{1}{2})(1.2+\frac{1}{2})(2.3+\frac{1}{2})(3.4+\frac{1}{2})...(98.99+\frac{1}{2})(99.100+\frac{1}{2})}{(1.2+\frac{1}{2})(2.3+\frac{1}{2})(3.4+\frac{1}{2})(4.5+\frac{1}{2})...(98.100+\frac{1}{2})(100.101+\frac{1}{2})}$
$=\frac{(0.1+\frac{1}{2})}{100.101+\frac{1}{2}}=\frac{1}{20201}$
Câu 2:
$F=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$
$=\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a} \right )+\left ( \frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b} \right )$
$=\frac{a(d+a)+c(b+c)}{(b+c)(d+a)}+\frac{b(a+b)+d(c+d)}{(c+d)(a+b)}\geq $
$\frac{a^{2}+c^{2}+ad+bc}{\frac{1}{4}(b+c+a+a)^{2}}+\frac{b^{2}+d^{2}+ab+cd}{\frac{1}{4}(c+d+a+b)^{2}}=\frac{4a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+ad+bc+cd}{(a+b+c+d)^{2}}$
(Theo bất đẳng thức xy $\leq \frac{1}{4}(x+y)^{2}$)
Mặt khác 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d)2
= a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd = (a - c)2 + (b - d)2 $\geq $0
Suy ra F $\geq $ 2 và xảy ra $\Leftrightarrow $ a = c; b = d.