Bài tập 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2;1); N(-1;3); P(4;-2)
a. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM};\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$
b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$
c. Tính độ dài các đoạn thẳng $MN,MP$
d. Tính $\cos \widehat{NMP}$
e. Tìm tọa độ trung điểm I của NP và trọng tâm G của tam giác MNP.
Bài Làm:
a.
- $\overrightarrow{OM}=\left( 2;1 \right)$
- $\overrightarrow{MN}=\left( -3;2 \right)$
- $\overrightarrow{MP}=\left( 2;1 \right)$
b.
$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}=(-3).2+2.1=-3$
c.
- $MN=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{13}$
- $MP=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$
d.
$\cos\widehat{NMP}=\cos(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP})\frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{MP} \right|}=\frac{\left| (-3).2+2.1 \right|}{\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{65}}{65}$
e. Vì I là trung điểm của NP
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{N}}+{{x}_{P}}}{2}=\frac{3}{2} \\ & {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{N}}+{{y}_{P}}}{2}=\frac{5}{3} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow I\left( \frac{3}{2};\frac{5}{3} \right)$
Vì G là trọng tâm của tam giác MNP
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}+{{x}_{P}}}{3}=\frac{5}{3} \\ & {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{M}}+{{y}_{N}}+{{y}_{P}}}{2}=2 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow G\left( \frac{5}{3};2 \right)$