I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ1:
Hai đường thẳng trong mặt phẳng thì cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.
HĐ2:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $∆_1, ∆_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$. Khi đó:
a. $∆_1$ cắt $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ không cùng phương.
b. $∆_1$ song song với $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.
c. $∆_1$ trùng với $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.
Kết luận:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$. Khi đó
a. $∆_1$ cắt $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ không cùng phương.
b. $∆_1$ song song với $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.
c. $∆_1$ trùng với $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.
Chú ý:
+ $∆_1$ vuông góc với $∆_2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}$ vuông góc với nhau.
+ Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, có thể dựa vào cặp vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó.
Ví dụ 1 (SGK – tr82)
Luyện tập 1:
Ta có: $\overrightarrow{u_1}= (1; 1), \overrightarrow{u_2}= (2; 2)$. Ta thấy: $\overrightarrow{u_2}= 2\overrightarrow{u_1}$.
Chọn điểm $A(1; -2) \in ∆_1$. Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $∆_2$ ta được: $t_2= \frac{1}{2} => A(1; -2) \in ∆_2$.
Vậy 2 đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ trùng nhau.
Nhận xét:
Cho hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ có phương trình lần lượt là:
$a_1x + b_1y + c_1$ và $a_2x + b_2y + c_2 = 0$
Xét hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
a_1x+b_1y+c_1= 0 & & \\
a_2x+b_2y+c_2= 0 & &
\end{matrix}\right. (I)$
Khi đó
a. $∆_1$ cắt $∆_2$ khi và chỉ khi hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất.
b. $∆_1$ song song với $∆_2$ khi và chỉ khi hệ $(I)$ vô nghiệm.
c. $∆_1$ trùng với $∆_2$ khi và chỉ khi hệ $(I)$ có vô số nghiệm.
Ví dụ 2 (SGK – tr82)
Luyện tập 2:
+ Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và ∆1 là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x+2y-2=0 & & \\
3x-2y+6=0 & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=-1 & & \\
y= \frac{3}{2} & &
\end{matrix}\right.$
Vậy $d$ và $∆_1$ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
+ Toạ độ giao điểm của đường thẳng $d$ và $∆_2$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x+2y-2=0 & & \\
x+2y+2=0 & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+2y=2 & & \\
x+2y=-2 & &
\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy $d$ và $∆_2$ song song với nhau.
+ Toạ độ giao điểm của đường thẳng $d$ và $∆_3$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x+2y-2=0 & & \\
2x+4y-4=0 & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+2y=2 & & \\
x+2y=2 & &
\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình vô số nghiệm.
Vậy $d$ và $∆_3$ trùng nhau.
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ3:
+ Trong hình 40a, ta có góc $\widehat{A_1}$ là một góc nhọn.
+ Trong hình 40b, ta có 4 góc tại đỉnh $A$ là góc vuông.
Kết luận:
Hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ cắt nhau tạo thành bốn góc.
+ Nếu hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$.
+ Nếu hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ bằng $90^{\circ}$.
Góc giữa hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ được kí hiệu là $\widehat{\Delta_1,\Delta_2}$ hoặc $(∆_1, ∆_2)$
Quy ước:
Khi $∆_1$ song song hoặc trùng với $∆_2$, ta nói góc giữa hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ bằng $0^{\circ}$.
Nhận xét:
Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng $90^{\circ}$, tức là $(∆_1, ∆_2) \leq 90^{\circ}$.
HĐ4:
a. Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng $∆_1, ∆_2$ và độ lớn của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}$ có thể bằng nhau hoặc bù nhau.
b.
+ Nếu $(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}) \leq 90^{\circ}$ thì $(∆_1, ∆_2) = (\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB})$. Do đó, $\cos (∆_1, ∆_2) = \cos (IA,IB) và cos(IA,IB) 0.
+ Nếu $(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}) > 90^{\circ}$ thì $(∆_1, ∆_2) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB})$. Do đó, $\cos (∆_1, ∆_2) = -\cos (\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB})$ và $\cos (\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}) < 0$.
Từ hai trường hợp trên, ta suy ra $\cos (∆_1, ∆_2) = \left | \cos (\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}) \right |$
Nhận xét:
Do $(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}) = (\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB})$ nên $\cos (∆_1, ∆_2) = \left | \cos (\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}) \right |= \frac{\left | \overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2} \right |}{\left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}$
HĐ5:
Ta có:
$\cos (\Delta_1,\Delta_2)= \left | \cos (\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}) \right |= \frac{\left | a_1a_2+b_1b_2 \right |}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Kết luận:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $∆_1$ và $∆_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}= (a_1; b_1), \overrightarrow{u_2}= (a_2; b_2)$.
Ta có:
$\cos (\Delta_1,\Delta_2)= \frac{\left | a_1a_2+b_1b_2 \right |}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
Nhận xét:
+ $∆_1 \perp ∆_2 ⟺ a_1a_2 + b_1b_2= 0$
+ Cho hai đường thẳng $\Delta_1$ và $∆_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}$. Ta cũng có:
$\cos (∆_1, ∆_2) = \left | \cos (\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}) \right |= \frac{\left | \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2} \right |}{\left | \overrightarrow{n_1} \right |.\left | \overrightarrow{n_2} \right |}$
Ví dụ 3 (SGK – tr84)
Luyện tập 3:
a. Đường thẳng ∆1; ∆2 lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (3\sqrt3; 3); \overrightarrow{u_2}= (1; 0)$.
$\cos (∆_1, ∆_2)= = \frac{\left | 3\sqrt3.1+3.0 \right |}{(3\sqrt3)^2+3^2.\sqrt{1^2+0^2}}= \frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $(∆_1, ∆_2)= 30^{\circ}$
b. Đường thẳng $∆_1; ∆_2$ lần lượt có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1} = (2; -1); \overrightarrow{n_2}= (-1;3)$.
$\cos (\Delta_1, ∆_2)= \frac{\left | 2.(-1)+(-1).3 \right |}{\sqrt{2^2+(-1)^2}.\sqrt{(-1)^2+3^2}}= \frac{\sqrt2}{2}$
Vậy $(∆_1, ∆_2)= 45^{\circ}$.
III. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
HĐ6:
a. Do $MH$ vuông góc với đường thẳng $∆$ nên ta có vectơ chỉ phương của $MH$ là: $\overrightarrow{u}= (2; 1)$
b. Phương trình tham số của đường thẳng $MH$ đi qua $M(-1; 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}= (2; 1)$ là:
$\left\{\begin{matrix}
x=-1+2t & & \\
y=1+t & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x-2y+3=0$
c. $H$ là giao điểm của $MH$ và đường thẳng $∆$.
Xét hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x-2y+3=0 & & \\
2x+y-4=0 & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=1 & & \\
y=2 & &
\end{matrix}\right.$
Vậy toạ độ điểm $H$ là: $H(1; 2)$.
Độ dài đoạn thẳng $MH$ là: $MH = \sqrt{(1+1)^2+(2-1)^2}= \sqrt5$
Kết luận:
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $∆$ có phương trình $ax + by + c = 0 (a^2 + b^2 > 0)$ và điểm $M(x_0; y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $∆$, kí hiệu là $d(M, ∆)$, được tính bởi công thức sau:
$d(M, ∆)= \frac{\left | ax_o+by_o+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Chú ý:
Nếu $M \in ∆$ thì $d(M, ∆) = 0$
Ví dụ 4 (SGK – tr 85)
Luyện tập 4:
a. Ta có:
$∆: \frac{x}{-4}+ \frac{y}{2}= 1 ⟺ x - 2y + 4= 0$
Vậy khoảng cách từ $O$ đến $∆$ là:
$D(O; ∆) = \frac{\left | 1.0-2.0+4 \right |}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4\sqrt5}{5}$
b. Lấy $M(0; 1) \in ∆_1$
$⇒ d(∆_1, ∆_2= d(M, ∆_2)= \frac{\left | 0-1-1 \right |}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt2$