LT-VD 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
${{\Delta }_{1}}$: $\left\{ \begin{align}& x=1+{{t}_{1}} \\ & y=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và
${{\Delta }_{2}}$: $\left\{ \begin{align}& x=2{{t}_{2}} \\ & y=-3+2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1 \right)$ ; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;2 \right)$.
$\Rightarrow$ $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ = 2 $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$.
Chọn t1=0 ta có điểm $M\left( 1;-2 \right)\in {{\Delta }_{1}}$ . Thay tọa độ của $M\left( 1;-2 \right)$ vào ${{\Delta }_{2}}$ ta được:
$\left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}}\\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & -2=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & {{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ (vô lí)
$\Rightarrow$ $M\left( 1;-2 \right)\notin {{\Delta }_{2}}$.
Vậy ${{\Delta }_{1}}$ //${{\Delta }_{2}}$.
LT-VD 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x + 2y -2 = 0 với mỗi đường thẳng sau
${{\Delta }_{1}}$: 3x-2y + 6 =0
${{\Delta }_{2}}$: x + 2y + 2 = 0
${{\Delta }_{3}}$: 2x + 4y - 4 = 0
Hướng dẫn giải:
-
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{1}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 3x-2y+6=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 3x-2y+6=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& 4x=-4 \\& y=\frac{2-x}{2} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $y=\frac{3}{2}$
Vậy d và ${{\Delta }_{1}}$ có 1 điểm chung, hay d cắt ${{\Delta }_{1}}$ .
-
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{2}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & x+2y+2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& x+2y+2=0 \\\end{align} \right.$
Có: $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}\ne \frac{-2}{-4}$ $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.
Vậy d và ${{\Delta }_{2}}$ không có điểm chung, tức d // ${{\Delta }_{2}}$
-
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{3}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 2x+4y-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 2x+4y-4=0 \\\end{align} \right.$
Có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4} =\frac{-2}{-4}$ $\Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm.
Vậy d và ${{\Delta }_{3}}$ có vô số điểm chung, tức d $\equiv$ ${{\Delta }_{3}}$.
LT-VD 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:
a. ${{\Delta }_{1}}$ : $\left\{ \begin{align}& x=-3+3\sqrt{3}t \\& y=2+3t \\\end{align} \right.$
và ${{\Delta }_{2}}$: y - 4 = 0.
b. ${{\Delta }_{1}}$: 2x - y = 0 và ${{\Delta }_{2}}$: -x+3y - 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
a. Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3\sqrt{3};3 \right)$ ; $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0 \right)$.
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 3\sqrt{3}.1+3.0 \right|}{\sqrt{{{(3\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}.3}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.
$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}\approx 70,{{9}^{o}}$
b. Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;-1 \right)$ ; $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -1;3 \right)$.
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 2.(-1)+(-1).3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{5}}=1$
$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}$ = 90o
LT-VD 4:
a. Tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng ${{\Delta }$:
$\frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1$
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
${{\Delta }_{1}}$: x -y + 1 = 0 và ${{\Delta }_{2}}$: x -y + 1$
Hướng dẫn giải:
a. $\Delta :2x-4y+8=0$
$d\left( O;\Delta \right)=\frac{\left| 2.0-4.0+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
b. Có: $\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1}$
$\Rightarrow$ ${{\Delta }_{1}}$ // ${{\Delta }_{2}}$
Chọn M(0; 1) $\in {{\Delta }_{1}}$
$\Rightarrow$ $d({{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}})=d(M;{{\Delta }_{2}})(M\in {{\Delta }_{1}})$
$d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| 0-1-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Bài tập & Lời giải
Bài tập 1. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a. ${{d}_{1}}:3x+2y-5=0$ và ${{d}_{2}}:x-4y+1=0$
b. ${{d}_{3}}:x-2y+3=0$ và ${{d}_{4}}:-2x+4y+10=0$
c. ${{d}_{5}}:4x+2y-3=0$ và ${{d}_{6}}:\left\{ \begin{align}& x=\frac{-1}{2}+t \\ & y=\frac{5}{2}-2t \\\end{align} \right.$
Xem lời giải
Bài tập 2. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng d1: 2x -y + 5 = 0 và d2: x-3y+3=0.
Xem lời giải
Bài tập 3. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a. A(1;-2) và ${{\Delta }_{1}}$: 3x-y+4=0
b. V(-3;2) và ${{\Delta }_{2}}$: ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align}& x=-2+t \\ & y=1-2t \\\end{align} \right.$
Xem lời giải
Bài tập 4. Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?
${{\Delta }_{1}}:mx-y+1=0$
${{\Delta }_{2}}:2x-y+3=0$
Xem lời giải
Bài tập 5. Cho ba điểm A(2;-1); B(1;2) và C(4; -2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB; AC.
Xem lời giải
Bài tập 6. Cho ba điểm A(2;4); B(-1;2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.
Xem lời giải
Bài tập 7. Có hai con tài A vfa B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki - lô - mét), sau khi xuất phát t (giờ) ($t\ge 0$), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ , vị trí của tàu B có tọa độ là (4-30t;3-40t)
a. Tính cosin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.
b. Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhất?
c. Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?