A. Tổng hợp kiến thức
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm
- Cho hàm số f(x) xác định trên K.
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi $x\in K$.
Định lí 1
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
- Ký hiệu: $\int f(x)dx=F(x)+C$
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x).
2. Tính chất nguyên hàm
Tính chất 1
|
$(\int f(x)dx)'=f(x)$ $\int f'(x)dx=f(x)+C$ |
Tính chất 2
| $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ |
Tính chất 3
| $\int \left [ f(x)\pm g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$ |
Chú ý: Sự tồn tại của nguyên hàm
- Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
3. Bảng nguyên hàm
II. Phương pháp tính nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1
- Nếu $\int f(u)du=F(u)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C$
Hệ quả
| $\int f(ax+b)dx\frac{1}{a}F(ax+b)+C,(a\neq 0)$ |
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2
- Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì:
| $\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$ |
- Hay: $\int udv=uv-\int vdu$ với $ v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$
B. Bài tập & Lời giải
Câu 1:Trang 100 - sgk giải tích 12
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
a) $e^{-x}$ và $-e^{-x}$
b) $\sin 2x$ và $\sin^{2} x$
c) $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$ và $(1-\frac{4}{x})e^{x}$
Xem lời giải
Câu 2:Trang 100 - sgk giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
a) $f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}$
b) $f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}$
c) $f(x)=\frac{1}{\sin^{2}x.\cos^{2}x}$
d) $f(x)=\sin 5x.\cos 3x$
e) $f(x)=\tan^{2}x$
g) $f(x)=e^{3-2x}$
h) $f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}$
Xem lời giải
Câu 3: Trang 101 - sgk giải tích 12
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
a) $\int (1-x)^{9}dx$ đặt $u=1-x$
b) $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$ đặt $u=1+x^{2}$
c) $\int \cos ^{3}x\sin xdx$ đặt t=\cos x$
d) $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$ đặt $u=e^{x}+1$
Xem lời giải
Câu 4: Trang 101 - sgk giải tích 12
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) $\int x\ln (1+x)dx$
b) $\int (x^{2}+2x-1)e^{x}dx$
c) $\int x\sin x(2x+1)dx$
d) $\int (1-x)\cos xdx$