Bài 4: (3,5 điểm)
1. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AD, AE (D, E là các tiếp điểm).
Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn (O) sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C; tia AC nằm giữa hai tia AD và AO. Từ điểm O kẻ $OI\perp AC$ tại I.
a. Chứng minh năm điểm A, D, I, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh IA là tia phân giác của $\widehat{DIE}$ và $AB.AC=AD^{2}$
c. Gọi $K$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $ED$ với $AC$ và $OI$. Qua điểm $D$ vẽ đường thẳng song song với $EI$ cắt $OF$ và $AC$ lần lượt tại $H$ và $P$. Chứng minh $D$ là trung điểm của $HP$.
2. Một hình trụ có diện tích xung quanh $140\pi (cm^{2})$ và chiều cao là $h=7(cm)$. Tính thể tích của hình trụ đó.
Bài Làm:
Hình vẽ:
$\widehat{OIA}=90^{0}$ ($OI\perp AC$ tại I)
$\widehat{ODA}=90^{0}$ (AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D).
$\widehat{OEA}=90^{0}$ (AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E)
Vậy năm điểm A, D, I, O, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AO (đpcm).
Xét đường tròn đường kính AO có:
$\widehat{DIA}=\widehat{EIA}$ (các góc nội tiếp cùng chắn AD=AE)
=> Tia IA là tia phân giác của $\widehat{DIE}$
Xét (O) có $\widehat{ACD}=\widehat{ADB}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn BD).
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta ADB$ có $\widehat{DAC}$ chung, $\widehat{ACD}=\widehat{ADB}$
Do đó $\Delta ACD$ # $\Delta ADB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{AD}{AB}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ).
$\Rightarrow AB.AC=AD^{2}$ (đpcm)
Vì IA là tia phân giác của $\widehat{DIE}$ mà $IA\perp IF$
=>IF là tia phân giác ngoài tại đỉnh I của $\Delta DIE$
$\Rightarrow \frac{DK}{KE}=\frac{FD}{FE} (1)$
Xét $\Delta FOE$ có HD//IE $\Rightarrow \frac{HD}{IE}=\frac{FD}{FE} (2)$
Xét $\Delta DKP$ có DP//IE $\Rightarrow \frac{DP}{IE}=\frac{DK}{KE} (3)$
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{HD}{IE}=\frac{DP}{IE}\Rightarrow HD=DP$
Vậy điểm D là trung điểm của đoạn thẳng HP.
2. Bán kính đáy của hình trụ $S_{xq}=2\pi rh\Rightarrow r=\frac{S_{xq}}{2\pi h}=\frac{140\pi }{2\pi h}=\frac{140\pi }{2\pi .7}=10(cm)$.
Thể tích của hình trụ $V = \pi r^{2}h=\pi .10^{2}.7=700\pi (cm^{3})$