VẬN DỤNG (3 câu)
Câu 1: Cho phân thức $M=\left [ \frac{(x-1)^{2}}{3x+(x-1)^{2}} -\frac{1-2x^{2}+4x}{x^{3}-1}+\frac{1}{x-1}\right ]:\frac{x^{2}+x}{x^{3}+x}$
a) Tìm điều kiện để giá trị của biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức M.
Câu 2: Chứng minh đẳng thức
a) $\frac{4x^{2}-(x-3)^{2}}{9(x^{2}-1)}-\frac{x^{2}-9}{(2x+3)-x^{2}}+\frac{(2x-3)^{2}-x^{2}}{4x^{2}-(x+3)^{2}}=1$
b) $\frac{y-z}{(x-y)(x-z)}+\frac{z-x}{(y-z)(y-x)}+\frac{x-y}{(z-x)(z-y)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$
Câu 3: Số nào lớn hơn $A=\frac{2020-2015}{2020+2015}$ và $B=\frac{2020^{2}-2015^{2}}{2020^{2}+2015^{2}}$
Bài Làm:
Câu 1:
a) Điều kiện để giá trị của biểu thức xác định
$\left\{\begin{matrix}3x+(x-1)^{2}=0\\ x^{3}-1=0\\ x-1=0\\ x^{2}+x=0\\ x^{3}+x=0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1=0\\ (x-1)(x^{2}+x+1)=0\\ x-1=0\\ x(x+1)=0\\ x(x^{2}+1)=0\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1\neq 0\\ x\neq 0\\ x+1\neq 0\\ \end{matrix}\right.$
vì $x^{2}+x+1>0$ và $x^{2}+1>0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\neq -1\\ x\neq 0\\ x\neq 1\\\end{matrix}\right.$
b)
$M=\left [ \frac{(x-1)^{2}}{3x+(x-1)^{2}} -\frac{1-2x^{2}+4x}{x^{3}-1}+\frac{1}{x-1}\right ]:\frac{x^{2}+x}{x^{3}+x}$
$=\left [ \frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+x+1}-\frac{1-2x^{2}+4x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}+\frac{1}{x-1} \right ]:\frac{x+1}{x^{2}+1}$
$=\left [ \frac{(x-1)^{3}-1+2x^{2}-4x+x^{2}+x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \right ]:\frac{x+1}{x^{2}+1}$
$=\left [ \frac{x^{3}-3x^{2}+3x-1-1+2x^{2}-4x+x^{2}+x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \right ]:\frac{x+1}{x^{2}+1}$
$=\left [ \frac{x^{3}-1}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \right ]:\frac{x+1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1}{x+1}$
Câu 2:
a) $\frac{4x^{2}-(x-3)^{2}}{9(x^{2}-1)}-\frac{x^{2}-9}{(2x+3)-x^{2}}+\frac{(2x-3)^{2}-x^{2}}{4x^{2}-(x+3)^{2}}$
$=\frac{(2x-x+3)(2x+x-3)}{9(x-1)(x+1)}-\frac{(x-3)(x+3)}{(2x+3-x)(2x+3+x)}+\frac{(2x-3-x)(2x-3+x)}{(2x-x-3)(2x+x+3)}$
$=\frac{3(x+3)(x-1)}{9(x-1)(x+1)}-\frac{(x-3)(x+3)}{3(x+3)(x+1)}+\frac{3(x-3)(x-1)}{3(x-3)(x+1)}$
$=\frac{x+3}{3(x+1)}-\frac{x-3}{3(x+1)}+\frac{3(x-1)}{3(x+1)}=\frac{x+3-x+3+3x-3}{3(x+1)}=\frac{3x+3}{3x+3}=1$
b) $\frac{y-z}{(x-y)(x-z)}+\frac{z-x}{(y-z)(y-x)}+\frac{x-y}{(z-x)(z-y)}$
$=\frac{(x-z)-(x-y)}{(x-y)(x-z)}+\frac{(y-x)-(y-z)}{(y-z)(y-x)}+\frac{(z-y)-(z-x)}{(z-x)(z-y)}$
$=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-z}+\frac{1}{y-z}-\frac{1}{y-x}+\frac{1}{z-x}-\frac{1}{z-y}$
$=\frac{1}{x-y}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{x-y}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{y-z}$
$=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$
Câu 3:
Ta có
A=$\frac{2020-2015}{2020+2015}=\frac{2020^{2}-2015^{2}}{(2020+2015)^{2}}<\frac{2020^{2}-2015^{2}}{2020^{2}+2015^{2}}\Rightarrow A<B$