VẬN DỤNG CAO (2 câu)
Câu 1: Chứng minh rằng tổng các phân thức sau bằng tích của chúng
$\frac{a-b}{1+ab};\frac{b-c}{1+bc};\frac{c-a}{1+ca}$
Câu 2: Cho phân thức: $C=\frac{1-x^{4}}{x^{10}-x^{8}+4x^{6}-4x^{4}+4x^{2}-4}$. Chứng tỏ luôn nhận giá trị âm với mọi $x\neq \pm 1$
Bài Làm:
Câu 1:
Ta cần chứng minh $\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ca}=\frac{a-b}{1+ab}.\frac{b-c}{1+bc}.\frac{c-a}{1+ca}(1)$
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta có:
$(1)\Leftrightarrow \frac{a-b}{1+ab}\left ( 1-\frac{b-c}{1+bc}.\frac{c-a}{1+ac} \right )+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}=0$
$\Leftrightarrow \frac{a-b}{1+ab}.\frac{1+abc^{2}+ab+c^{2}}{(1+bc)(1+ac)}+\frac{b-ac^{2}-a+bc^{2}}{(1+bc)(1+ac)}=0$
$\Leftrightarrow \frac{a-b}{1+ab}.\frac{(1+ab)(1+c^{2})}{(1+bc)(1+ac)}+\frac{(1+c^{2})(b-a)}{(1+bc)(1+ac)}=0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)(1+c^{2})}{(1+bc)(1+ac)}-\frac{(a-b)(1+c^{2})}{(1+bc)(1+ac)}=0$. Ta được điều phải chứng minh
Câu 2:
$C=\frac{1-x^{4}}{x^{10}-x^{8}+4x^{6}-4x^{4}+4x^{2}-4}$
$=\frac{-(1-x^{2})(1+x^{2})}{(1-x^{2})(x^{8}+4x^{4}+4)}=-\frac{1+x^{2}}{(x^{4}+2)^{2}}<0$ với $x\neq \pm 1$