Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
I. Đạo hàm của một số hàm thương gặp
ĐỊNH LÍ 1
Hàm số \(y=f(x) (x\in \mathbb{N}, x>1)\)có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\)và
\((x^n)'=n.x^{n-1}\)
Nhận xét:
a. Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: \((c)'=0\)
b. Đạo hàm của hàm số \(y=x\)bằng 1: \((x)'=1\)
ĐỊNH LÍ 2
Hàm số \(y=\sqrt{x}\)có đạo hàm tại mọi x dương và
\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
1. Định lí
ĐỊNH LÍ 3
Giả sử $u=u(x), v=v(x)$là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
- \((u+v)'=u'+v'\)
- \((u-v)'=u'-v'\)
- \((uv)'=u'v+uv'\)
- \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v=v(x)\neq 0)\)
2. Hệ quả
HỆ QUẢ 1
Nếu k là một hằng số thì \((ku)'=ku'\)
HỆ QUẢ 2
\(\frac{1}{v}=-\frac{v'}{v^2}(v=v(x)\neq 0)\)
III. Đạo hàm của hàm hợp
ĐỊNH LÍ 4
Nếu hàm số \(y=g(x)\)có đạo hàm tại x là \(u'_x\)và hàm số \(y=f(u)\)có đạo hàm tại u là \(y'_u\) thì hàm hợp \(y=f(g(x))\)có đạo hàm tại x là
\(y'_x=y'_u.u'_x\)
Bảng tóm tắt
| \((u+v-w)'\) | \(=u'+v'-w'\) |
| \((ku)'\) | \(=ku'\)(k là hằng số) |
| \((uv)'\) | \(=u'v+uv'\) |
| \(\left ( \frac{u}{v} \right )'\) | \(=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v=v(x)\neq 0)\) |
| \(\frac{1}{v}\) | \(=-\frac{v'}{v^2}(v=v(x)\neq 0)\) |
| \(y'_x\) | \(=y'_u.u'_x\) |
Bài tập & Lời giải
Câu 1: trang 162 sgk toán Đại số và giải tích 11
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\);
b) \(y = x^3- 2x + 1\) tại \(x_0= 2\).
Xem lời giải
Câu 2: trang 163 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x^5- 4 x^3+ 2x - 3\);
b) \(y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x + x^2 - 0,5x^4\);
c) \(y = \frac{x^{4}}{2}\) - \( \frac{2x^{3}}{3}\) + \( \frac{4x^{2}}{5} - 1\) ;
d) \(y = 3x^5(8 - 3x^2)\).
Xem lời giải
Câu 3: trang 163 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {({x^{7}} - 5{x^2})^3}\);
b)\(y = ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\);
c) \(y = \frac{2x}{x^{2}-1}\);
d) \(y = \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\);
e) \(y = \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (\(m, n\) là các hằng số).
Xem lời giải
Câu 4: trang 163 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x^2 - x\sqrt x + 1\);
b) \(y = \sqrt {(2 - 5x - x^2)}\);
c) \(y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số);
d) \(y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\).
Xem lời giải
Câu 5: trang 163 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho \(y = x^3-3x^2+ 2\).
Tìm \(x\) để :
a) \(y' > 0\)
b) \(y' < 3\)