Giải bài 2: Giới hạn của hàm số

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết

Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$và hàm số $y=f(x)$xác định trên K hoặc K \ {\(x_{0}\)}

Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì,

\(x_{n}\in \)K \ {\(x_{0}\)}; \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)

ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÍ 1

a. Giả sử \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x) = M\)

Khi đó:

• \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x)+g(x)] = L+M\)
• \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x)-g(x)] = L-M\)
• \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }[f(x).g(x)] = L.M\)
• \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\)(nếu \(M\neq 0\))

b. Nếu \(f(x)\geq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)thì:

\(L\geq 0\)và \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\)

(Dấu của \(f(x)\)được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x\neq x_{0}\))

3. Giới hạn một bên

ĐỊNH NGHĨA 2

• Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((x_{0}; b)\)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{0}<x_{n}<b\)và \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)

ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim }f(x) = L\)

• Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; x_{0})\)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f(x)\)khi \(x\rightarrow x_{0}\)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(a<x_{n}<x_{0}\)và \(x_{n}\rightarrow x_{0}\)

ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim }f(x) = L\)

ĐỊNH LÍ 2

\(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\)khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim }f(x) = L\)

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

ĐỊNH NGHĨA 3

a. Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; +\infty )\)

Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow +\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}>a; x_{n}\rightarrow +\infty\)

ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow +\infty \)

b. Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((-\infty ;a)\)

Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow -\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}<a; x_{n}\rightarrow -\infty\)

ta có \(f(x_{n})\rightarrow L\)

Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }f(x) = L\)hay \(f(x)\rightarrow L\)khi \(x\rightarrow -\infty \)

CHÚ Ý

a. Với c, k là các hằng số và k là nguyên dương, ta luôn có:

•  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }c = c\)
•  \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }c = c\)
•  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }\frac{c}{x^{k}} = 0\)
•  \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }\frac{c}{x^{k}} = 0\)

b. Định lí 1 về giới hạn của hàm số khi \(x\rightarrow x_{0}\)vẫn còn đúng khi \(x\rightarrow +\infty \)hoặc \(x\rightarrow -\infty\)

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

ĐỊNH NGHĨA 4

Cho hàm số \(y=f(x)\)xác định trên khoảng \((a; +\infty )\)

Ta nói hàm số \(y=f(x)\)có giới hạn là \(-\infty \)khi \(x\rightarrow +\infty \)nếu với dãy số \((x_{n})\)bất kì, \(x_{n}>a\)và \(x_{n}\rightarrow +\infty \)ta có \(f(x_{n})\rightarrow -\infty\)

Kí hiệu: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = -\infty \)hay \(f(x)\rightarrow -\infty \)khi \(x\rightarrow +\infty \)

NHẬN XÉT: \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }f(x) = +\infty \Leftrightarrow \underset{x\rightarrow +\infty }{lim }(-f(x)) = -\infty \)

2. Một vài giới hạn đặc biệt

• \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim }x^{k} = +\infty \)với k nguyên dương.
• \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }x^{k} = -\infty \)nếu k là số lẻ
• \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim }x^{k} = +\infty \)nếu k là số chẵn

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Nếu  \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x) = L\neq 0\)và  \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }g(x) = +\infty \)(hoặc \(-\infty \))thì  \(\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim }f(x)g(x)\)được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

a. Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x).g(x)$

b. Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$

(Dấu của \(g(x)\)xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với \(x\neq x_{0}\)

CHÚ Ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp \(x\rightarrow x_{0}^{+}, x\rightarrow x_{0}^{-}, x\rightarrow +\infty ; x\rightarrow -\infty \)