Câu 2: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\frac{1}{n}\).
Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n)\).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\) ?
Bài Làm:
Ta có \(\lim u_n\)= \(\lim \frac{1}{n}= 0\)
\(\lim v_n= \lim (-\frac{1}{n}) = 0\).
Vì \(u_n=\frac{1}{n} > 0\) và \(v_n= -\frac{1}{n} < 0\) với \(\forall n\in {\mathbb N}^*\)
\(\Rightarrow f(u_n)= \sqrt{\frac{1}{n}}+1\) và \(f(v_n) = -\frac{2}{n}\).
Ta có
\( \lim f(u_n)= \lim \left ( \sqrt{\frac{1}{n}}+ 1 \right )= \lim \sqrt {\frac{1}{n}}+\lim \,1=0+1=1\)
\(\lim f(v_n)= lim (-\frac{2}{n}) = 0\).
Vì \(u_n \to 0\) và \(v_n \to 0\), nhưng \(\lim f(u_n) ≠ \lim f(v_n)\) nên hàm số \(y = f(x)\) không có giới hạn khi \(x → 0\).
