Giải bài 2: Dãy số

• Ôn tập lý thuyết
• Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa

Dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N^*  được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

                           u: N^*  → R

                                 n →  u(n)

• Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,
• trong đó u_n = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u₁ là số hạng đàu của dãy số (u_n )

Dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với m Є N^*  được gọi là một dãy số hữu hạn   

• Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,u_m, trong đó u₁là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

• Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N^{* .}
• Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được u_n.

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

• Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được u_n với n tuỳ ý.

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

• Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)
• Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vào số hạng) đứng trước đó.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số tăng : Dãy số U_n được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n Є N^*  ;

Dãy số giảm : Dãy số U_n được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n Є N^* .

Dãy số bị chặn

• Dãy số U_n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho 

U_n ≤ M, với mọi n Є N^*.

• Dãy số U_n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

U_n ≥ m, với mọi n Є N^*.

• Dãy số U_n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

 m ≤ U_n ≤ M, với mọi n Є N^*.